数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 10．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.12．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．12．3 [解析] 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a |＝3.5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC → D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .14．、[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c|a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．[2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)． 3．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)3．B [解析] b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．12．、[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．25 [解析] 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝2 5.12．、[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-312．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB ·⎝⎛⎭⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .7．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B [解析] 由题意得cosπ6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m 29＋m 2，解得m ＝ 3.13．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b＝0，则tan θ＝______.13.12 [解析] 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝12.18．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．、[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c|a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F3 平面向量的数量积及应用12．、[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．25 [解析] 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝25.12．、[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-312．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB ·⎝⎛⎭⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .6．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．B [解析] 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．54．A [解析] 由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝b ，两式相减，得a ·b ＝1. 12．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．12．10 [解析] ∵|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝210×10×12＝10.7．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B [解析] 由题意得cosπ6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m 29＋m 2，解得m ＝ 3. 13．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．13．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝⎛⎭⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3.∵AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫43，－233·⎝ ⎛⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.F4 单元综合9．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定9．B [解析] |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1.若|b |确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.10．[2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4.设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.10．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]10．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．1．[2014·山西大同一中四诊] 如图X19-1所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →图X1911．D [解析] 由图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CF →. 13．[2014·长沙一中月考] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝____________．13.13[解析] ∵a ＝m b ＋n c ⇒(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝2，－m ＋4n ＝3，∴⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89，∴n －m ＝13.14．[2014·湖南师大附中月考] 如图X192所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB＝1，AB →＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝____________．图X19214．－12 [解析] 由已知得|AB →|＝2，|AC →|＝24，则OC →·(OB →－OA →)＝(OA →＋AC →)·AB →＝OA →·AB →＋AC →·AB →＝2cos 3π4＋24×2＝－12.15．[2014·温州十校联合体期末] 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为____________．15.12[解析] 由CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO →|的最小值为AB 边上的高．又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO →|的最小值为错误!.6．[2014·漳州五校期末] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( )A ．1 B. 3 C. 5 D ．36．C [解析] 由已知得|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉．又|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.1．[2014·常德期末] 已知向量a ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，b ＝1，－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求f (A )的取值范围．1．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝cos2x －π3－2sin π4＋x cos π4＋x ＝cos2x －π3－sin π2＋2x ＝cos2x －π3－cos 2x ＝cos 2x ·cos π3＋sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin2x －π6， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵A 为等腰三角形ABC 的一个底角， ∴0<A <π2，∴0<2A <π，∴－π6<2A －π6<5π6，∴－12<sin2A －π6≤1，即－12<f (A )≤1.。