数学竞赛典型题目（二）1.（1994年伊朗数学奥林匹克） 设a 、b 、c 、S 分别为锐角三角形ABC 的三边的边长及它的面积。

证明在三角形ABC 内存在一点P ，由P 到顶点A 、B 、C 的距离为x 、y 、z 的充份和必要条件是存在三个三角形：第一个的边长分别是a 、y 、z 及其面积为S 1，第二个的边长分别是b 、z 、x 及其面积为S 2，第三个的边长分别是c 、x 、y 及其面积为S 3及S=S 1+S 2+S 3。

2 .（1995年伊朗数学奥林匹克） 假设ABCD 为一正方形及K 、N 分别在线段AB 和AD 的点使得AK x AN = 2 BK x DN.设L 和M 分别为对角线BD 与CK 及CN 的交点。

证明K 、L 、M 、N 和A 五点共圆。

（1995年伊朗数学奥林匹克）A,B,C 三点在圆O 上,线CO 交AB 于D 且BO 交AC 于E,如果,,BAC CDE ADE ∠∠∠角度都是α,求α.（1995年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆内切圆和边AB,AC 及BC 交于M,N,P,证明:MNP ∆垂心, ABC ∆外心和内心三点共线.3.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中， 60=∠A ，O 、H 、I 、'I 分别为外心、垂心、内心和关于A 的旁心. 'B 和'C 分别在AC 和AB 上，且'.,'AC AC AB AB ==证明：（1）八点B 、C 、H 、O 、I 、'I 、'B 、'C 共圆；（2）若OH 交AB 、AC 分别于E 、F ，则AEF ∆周长等于.AC AB +（3）.AC AB OH -=4.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆为不等边三角形，从A 、B 、C 出发的中线交外接圆于另一点L 、M 、N.若.LN LM =证明：.2222AC AB BC +=5.（1996年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中，D 在AB 上，E 在AC 上，且DE//BC.P 为ABC ∆ 内任一点，PB 和PC 交DE 分别于F 、G.若1O 为PDG ∆外心，2O 为PFE ∆外心，证明：.21O O AP ⊥6.(1997年伊朗数学奥林匹克)ABC ∆边BC 的中点是N,以AB 和AC 为直角边向外构造等腰直角ACP ABM ∆∆,,证明:MNP ∆也是等腰直角三角形.7.(1997年伊朗数学奥林匹克)圆心为O,直径为AB 的圆上有两点C,D,直线CD 交AB 于M,且MB<MA,MD<MC,K 是AOC ∆和DOB ∆外接圆的交点(不是O),证明:OK MK ⊥即有向角090=∠MKO8.(1997年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC ∆外心为O,垂心为H,且BC>CA,F 为高CH 的垂足,过F 作OF 的垂线交AC 于P,证明:有向角BAC FHP ∠=∠9.(1997年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆外接圆弧AB 上有一个动点(不包含A),21,I I 分别为PAC PAB ∆∆,的内心,证明:(1)21I PI ∆的外接圆是否过定点?(2)以21I I 为直径的圆过定点.(3) 21I I 中点在定圆上.10. (1998年伊朗数学奥林匹克)KL 和KN 是圆C 的切线，切点是L ，N ，M 为KN 延长线上一点，KLM ∆的外接圆交圆C 的另一交点为P ，点Q 是N 向ML 所引垂线的垂足，证明：KML MPQ ∠=∠211. (1998年伊朗数学奥林匹克)锐角ABC ∆的高是AD ，角B 和C 的内角平分线交AD 于点E ，F ；若BE=CF ，证明：ABC ∆是等腰三角形。

12. (1998年伊朗数学奥林匹克) 锐角ABC ∆中，AD ，BE ，CF 是高，过D 作EF 的平行线交AC 于Q ，交AB 于R ，直线BC 交EF 于P ，证明：PQR ∆外接圆过BC 中点。

13. (1998年伊朗数学奥林匹克)ABC ∆和XYZ ∆中ZXAB C YZ AB C YZ CA B XY CA B XY BC A ZX BC A ⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=⋂=212121,,,,,证明：YXA B ZY B C XZ C A CA B B BC A A AB C C 212121212121==⇔== 14. (1998年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆中BC 延长线上点D 满足CD=AC ，ACD ∆外接圆交以BC 为直径的圆于另一点P ，BP 交AC 于E ，BP 交AB 于F ，证明：D ，E ，F 三点共线。

15.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆内心为I ，AI 交ABC ∆的外接圆于D.从I 向BD 和CD 引垂线，垂足为E 、F.若.2AD IF IE =+求.BAC ∠ 16.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中，.AB CA BC >>在BC 上有一点D,BA上有一点E 使.AC BE BD ==BED ∆外接圆交AC 于P,直线BD 交ABC ∆外接圆于Q.证明：.BP QC AQ =+17.（1999年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中，BAC ∠角平分线交BC 于D.设W 是与BC 相切于D 且过A 点的圆,M 为AC 与W 第二个交点, P 为BM 与W 第二个交点,证明：P 位于ABD ∆一条中线上.18.（1999年伊朗数学奥林匹克）圆W 过ABC ∆的顶点A 、C ，边AB 和BC 交W于D 、E.令r 为EBD ∆内切圆，S 为圆心.若r 切弧DE 于M.证明：AMC ∠平分线过ABC ∆内心.19. (2000年伊朗数学奥林匹克)圆1O 和圆2O 交于A ，B ，半径B O B O 21,所在直线分别交圆1O 和圆2O 于点F ，E ，过B 作EF 的平行线交圆1O 和圆2O 分别于M ，N ，证明：AF AE MN +=21. (2000年伊朗数学奥林匹克)两圆交于A ，B ，直线l 过A 交两圆分别于C ，D ；M ，N 分别为BC 和BD 的中点（两条险段都不含点A ）K 是CD 的中点，证明：有向角 90=∠MKN22. (2000年伊朗数学奥林匹克)以321A A A ∆的边为底边向外作等腰321213,O A A O A A ∆∆，令1O 是321A A A ∆外一点，且23123121A O A A A O ∠=∠，23132121A O A A A O ∠=∠，证明：3211O O O A ⊥；若T 是1O 关于直线32A A 的对称点。

则32132112A A T O O O O A = 23. (2000年伊朗数学奥林匹克)圆O 的半径为R ，直线d 和圆O 相离，点M ，N 在d 上，且以MN 为直径的圆和圆O 相切，证明：存在点P 使MPN ∠是定角。

24.（2001年伊朗数学奥林匹克）ABC ∆中，B 在AC 上，D 在AE 上，F 为CD和BE 的交点.若.DF AD BF AB +=+证明：.EF AE CF AC +=+25.（2001年伊朗数学奥林匹克）O 为ABC ∆外心，H 为垂心，ABC ∆九点圆是过各边中点、各边高的垂足AH 、BH 、CH 中点的圆.令N 为圆心，'N 为一点满足NBC BA N ∠=∠'，.'NAC AB N ∠=∠令OA 中垂线交BC 于'A .同样定义'B 和'.C 证明：'A 、'B 、'C 共线，且这条直线垂直于'.ON26.（2001年伊朗数学奥林匹克）I 为ABC ∆内心，a I 为关于A 的旁心.若I a I交BC 及ABC ∆的外接圆分别于'A 和M ，N 为外接圆弧MBA 中点，直线NI 和N a I 交外接圆分别于S 、T.证明：S 、T 、'A 共线.27. (2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆的外接圆为O ，平行于BC 的直线交AB ，AC 于点E ，F ，交圆O 于U ，V ，令M 是BC 的中点，圆'O 是UMV ∆的外接圆，且两个圆的半径相等，ME 交圆'O 于T ，且FT 交圆'O 于S ，证：EF 和MCS ∆的外接圆相切。

28. (2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆的角平分线是AD ，若AB+AD=CD ，AC+AD=BC ，求ABC ∆的角。

29. (2002年伊朗数学奥林匹克)圆21,C C 相切于K ，且与圆O 分别切于M ，N ，圆21,C C 外公切线叫圆O 于A ，B ，AK ，BK 分别交圆O 于E ，F ，若AB 为圆O 的直径，证明：EF ，MN ，OK 三线共点。

30. (2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆的边Bc 上的点M ，N ，点M 在BN 上且BM=CN ，P,Q 分别在AN ，AM 上，且有向角NAC QNB MAB PMC ∠=∠∠=∠,，证明：有向角PCB QBC ∠=∠31. (2002年伊朗数学奥林匹克)ABC ∆内心为I ，内切圆切AB ，AC 分别于X ，Y ，XI 交内切圆于M ，CM 和AB 交于'X ，L 是线段C X '上的点，且CM L X ='，证明：A ，L ，I 共线当且仅当AB=AC 。

32. (2002年伊朗数学奥林匹克)AB ，AC 为圆O 的切线，直线l 为圆O 的任意切线，交AB ，AC 分别于点P ，Q ，过P 作AC 的平行线交BC 于R ，证明：l 改变时，QR 过定点。

33．(2002年伊朗数学奥林匹克) ABC ∆关于点A 的旁切圆切BC 于点P ，AP交ABC ∆外接圆于点D ，证明：PBD PCD ∆∆,的内切圆半径相等。

34. (2002年伊朗数学奥林匹克)A ，B ，C 在圆O 上，I 是ABC ∆内心，D 是弧BAC 的中点，圆W 和AB ，AC 相切并与圆O 切于点P （W 在圆O 内），证明：P ，I ，D 共线。

35．（2002伊朗选拔赛）ABCD 是凸四边形，连接其对角线将他分成4部分，对角线的交点是P ，4321,,,I I I I 是三角形PAD ，PAB ，PBC ，PCD 的旁心（相应于P 点），证明：4321,,,I I I I 共圆等价于ABCD 有内切圆。

36．（2002伊朗选拔赛）从ABC ∆内一点O 向BC ，CA ，AB 因垂线，垂足是111,,C B A ，证明：O 是ABC ∆外心的充要条件是ABC ∆周长不小于111111,,B CA A BC C AB ∆∆∆的周长。

37．（2002伊朗选拔赛）ABC ∆内切圆且BC 于'A ，'AA 交内切圆于另一点P ，CP ，BD 交内切圆于 另一点N ，M ，证明：CM BN AA ,,'共点。