《概率论与数理统计》期末考试题
一. 填空题（每小题2分，共计60分）
1、A 、B 是两个随机事件，已知0.1p(AB)0.3,)B (p ,5.0)A (p ===，则
=)B -A (p 0.4 、=)B A (p Y 0.7 、=)B A (p 1/3 ,)(B A P ⋅= 0.3 。

2、一个袋子中有大小相同的红球4只黑球2只，
(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 13/21 . 3、设随机变量X 服从参数为6的泊松分布，则{}=≥1X p 1- 6-e 4、设随机变量X 服从B （2，0. 6）的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y
服从B （8，0. 6）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则Y X +服从 B （10，0. 6） 分布，=+)(Y X E 6 。

5、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.3_，
X 的数学期望
=)(X E ___0.5_______，Y X 与的相关系数
=xy ρ___0.1_______。

6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作，
（1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：3p ； （2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：3)1(1p --；
7、（1）若随机变量X )3,1(~U ，则{
}=20〈〈X p 0.5；=)(2X E _13/3， =+)12(X D 3/4 ．
（2）若随机变量X ~)4 ,1(N 且8413.0)1(=Φ则=<<-}31{X P 0.6826 ，
(~,12N Y X Y 则+= 3 ， 16 ）。

8、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)=1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y
相互独立，则：=+)2(Y X E 5 ，=+)2(Y X D 17 。

9、设101,...,X X 及151,...,Y Y 分别是总体)6,20(N 的容量为10，15的两个独立样本，
Y X ,分别为样本均值，2
221,S S 分别为样本方差。

则：~X N(20,3/5) ，~Y X - N(0,1) ，{}
1>-Y X p = 0.3174 ，
~2321S )9(2
χ，~2221S S F(9,14) 。

此题中8413.0)1(=Φ。

10、在假设检验中，显着性水平a 是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误 是指： H 0 成立的条件下拒绝H 0 的错误 。

二、（6分）已知随机变量X 的密度函数⎩
⎨⎧≤≤+=其它 , 010 ,)(x a x x f
求：（1）常数a ， （2）)515.0(⋅<<X p （3）X 的分布函数F （X ）。

解:(1)由⎰+∞
∞-==2/1,1)(a dx x f 得 2’
(2) )515.0(⋅<<X p =⎰⎰=+=5.15.015.0675.0)2
1
()(dx x dx x f 2’
(3) ⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤<+≤=x x x x 0x x F 1 , 110 ,5.05.0 0)(2 2’
三、（6分）设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：=)(x f X ⎩⎨⎧≤≤其它 ,
0,
10 ,32x x ，
=)(y f Y ⎩⎨⎧≤≤其它 , 0,10
,2y y ，且随机变量X ，Y 相互独立（1）求（X ，Y ）的联合
概率密度为：),(y x f （2）计算概率值{}X
Y p 2≤。

解:(1) X ，Y 的边缘密度分别为:
X ，Y 相互独立，可见（X ，Y ）的联合概率密度为
）
（）（），（y f x f y x f Y X ⋅=,
⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其它 ,
01
0,10 ,6),(2y x y x y x f 2’ ⎰⎰⎰⎰=
==
<<10
1
2
2220
19
6),()2(y x
y ydx x dy dxdy Y x f X Y P 4 四、（8分） 从总体X ~) ,(2σu N 中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本
方差分别是：9,802==S X ， 36.39)24(,4.12)24(,0639.2)24(2025.02975.0025.0===x x t
求u 的置信度为0.95的置信区间和2σ 的置信度为0.95的置信区间。

解: (1)n=25,置信水平025.02/,95.01==-αα,,1315.2)1(025.0=t
9,802==S X 由此u 的置信水平为0.95的置信区间为:
)0639.225
380(⨯±
, 即)238.180(± 4’
(2) n=25,置信水平025.02/,95.01==-αα,36.39)24(,4.12)24(2025.02975.0==x x
92=S 由此2σ的置信水平为0.95的置信区间为: )42.17,49.5())
24(9
24,)24(924(
2975.02025.0=⨯⨯χχ 4’
五 、（10分）设总体X 服从u u N ,),,(22已知σσ未知。

n X X ,,1Λ是X 的一个样本，求u 的矩估计量，并证明它为u 的无偏估计。

解: 样本n X X ,...,1的似然函数为:
]
)(21ex p[)
2(),,...,(1
22
/1∑=---=n
k i n n u x u x x L π
2’
而])([21)2ln(2/),,...,(ln 1
21∑=---=n
k i n u x n u x x L π
1’ 令:
)())
,,...,((ln 1
1=-=∑=n
k i n u x du u x x L d ,
1’
解得:
i n
k x n u
∑==1
1ˆ u 的最大似然估量
i n
k X n u
∑==1
1ˆ 2’
u X n E u
E k n
k ==∑=)1()ˆ(1
, 它为u 的无偏估计量.
2’ 六、（5分）一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨, 现测得最近5天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显着不为800吨。

（取05.0=α），此题中7764.2)4(025.0=t 。

解: 按题意日产量~X 22,),,(σσu u N 未知,现取05.0=α检验假设:
800 ,800:10≠=u H u H ： 1’ 用t 检验,现有，
，05.05==αn 7764.2)4(025.0=t ,拒绝域为: 7767.25/800
>⎩
⎨⎧-=
s x t , 1’ 算得:6169.8,4.794==s x , 4527.15
/800-=-=
s x t , 2’
t 值不在拒绝域内,故接受0H ,认为日产量没有显着变化. 1
七、（5分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布未知u u N ,),,(22σσ,现他声称他的温度计读数的标准差为不超过0.5, 现检验了一组16只温度计,得
标准0。

7度，试检验制造商的言是否正确（取05.0=α），此题中996.24)15(2
05.0=χ。

解: 按题意温度计读数~X 22,),,(σσu u N 未知,现取05.0=α检验假设:
5.0 ,5.0:10>≤σσ：H H 1’ 用2χ检验,现有，
，05.05==αn 7764.2)4(025.0=t ,拒绝域为: 2
22
5
.0)1(s n -=χ> 996.24)15(2
05.0=χ 1’ 算得: 996.244.295
.07.0155.0)1(2
2
222
>=⨯=-=s n χ 2’ 在拒绝域内,故拒绝0H ,认为温度计读数的标准差为显着超过0.5. 1。