求函数值域的几种常用方法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。
一、直接观察法这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。
例1 求函数y =x 1的值域。
解： x ≠0 ，∴ x1≠0显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ .二、反函数法当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。
例3 求函数y =6543++x x 值域。
解：由原函数式可得：x =3564--y y，则其反函数为：4653xy x -=- 其定义域为：x ≠53，故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞⋃+∞.注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530y x =++同样达到目的。
例4 求函数11()211()2xxy -=+值域。
解：由原函数式可得：121log 1yx y-=+，则其反函数为：121log 1xy x -=+ 由101xx->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-.注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()021xyy-=>+同样达到目的 三、配方法配方法是求二次函数（即形如2()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。
例5 求函数y =2x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y =（x -1）2+ 4，x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ].例6求函数y =的值域。
解：将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ，32].例7 求函数2sin 2sin 2()4y x x x ππ=-+-≤≤的值域。
解：将函数配方得：2(sin 1)1y x =-+，4x ππ-≤≤，sin 12x ∴-≤≤ 当sin x =max 52y =当sin 1x =时，min 1y= 故函数的值域是：5[1,2+. 四、判别式法形如2111122222(,a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为0）的函数的值域通常用此法求解，把函数转化为关于x （或关于x 的某个代数式）的二次方程，通过方程有实根，△≥0，从而求得函数的值域。
例8 求函数 y =3212+--x x x 的值域。
解：由y =3212+--x x x 得：013)12(2=+++-y x y yx （※）当0≠y 时，为使方程（※）有实根， 必须且只需△[]22(21)4(31)810y y y y =-+-+=-+≥解得 4242≤≤-y 当0=y 时,方程（※）有实根1=x因此，函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42,42. 例9 求函数y = x +)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y +1）x + y 2=0（1） x ∈R ，∴△=4（y +1）2-8 y ≥0 解得：1-2≤ y ≤1+2但此时的函数的定义域由x （2 - x ）≥0，得： 0≤ x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（ y +1）x + y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
0≤x ≤2，∴y = x +)2(x x - ≥0，把min y =0代入方程（1），解得： 0[0,2]x =∈，把1y =1），解得：[0,2]x =∴原函数的值域为：[0，1+2].注：在这里，需要注意两个问题：一是要讨论二次项系数是否为0，因为二次项系数为0时方程（※）不再是一元二次方程，当然不能用判别式判定其是否有实数根。
二是要注意函数的定义域是否为实数集，因为判别式是判定一元二次方程在整个实数集上（而不是在它的子集合内）是否有解；若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
五、利用函数的有界性法函数式中含有正弦或余弦函数及指数式时，不妨利用此法。
例10 求函数y = 11+-x x e e 的值域。
解：由原函数式可得：xe =11y y+-， xe ＞0，∴11y y+-＞0解得：- 1＜y ＜1，故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例11 求函数2sin 2sin xy x-=+的值域解：由原函数式可得：22sin 1yx y -=+ ， 22|sin |1,||11yx y -≤∴≤+即 |22||1|y y -≤+。
两边平方，得2248421y y y y -+≤++ 即231030y y -+≤ 解得：133y ≤≤ 所以函数的值域是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
例12 求函数y =3sin cos -x x的值域。
解：由原函数式可得：y sin x - cos x=3 y ，)3x y β+=即sin()x β+=∵ x ∈R ，∴sin （x +β）∈[-1，1] 。
即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤ y ≤42 故函数的值域为[-42，42]. 注：本题还可以利用数形结合法，把原函数式变形为：cos 0sin 3x y x -=-，可以看作一点(3,0)P 与单位圆221x y +=上的点所连线段的斜率，从而达到目的。
六、利用函数的单调性法1、两个单调递增（或递减）函数的和仍为单调递增（或递减）函数；2、()(0)kf x x k x=+>在(,)x ∈-∞+∞上是增函数，在[x ∈上是减函数。
例13求函数52log 10)x y x -=+≤≤的值域。
解：令512x y -=，23log y =则 1y ， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。
所以 y =1y +2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y min = 32-+log =81， 当x = 10 时，max y = 52+3log 。
故所求函数的值域为：[81，33]. 例14 求函数y = 1+x -1-x 的值域。
解：原函数可化为： y =112-++x x令1y = 1+x ，2y = 1-x ，显然1y ，2y 在[1,)+∞上为无上界的增函数， 所以y =1y +2y 在[1,)+∞上也为无上界的增函数。
所以当x = 1时，y =1y +2y 有最小值2，原函数有最大值22= 2。
显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2)。
例15求函数2y =的值域解：函数y =令t =，则1(2)y t t t=+≥由于函数1y t t =+在[2,)+∞上是单调递增函数，从而有min 15222y =+=故所求函数的值域为：5[,)2+∞.七、换元法形如,,,y ax b a b c d =+为常数，0)a ≠常用代数换元；形如,,,y ax b a b c d =+为常数，0)a ≠常用三角换元。
例16 求函数y = x + 1-x 的值域。
解：令x -1= t ，（t ≥0）则x =2t +1∵ y =2t + t +1=2)21(+t +43， 又t ≥0，由二次函数的性质可知当 t =0时，min 1y =， 当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[1,)+∞.例17求函数2y x =+ 解：因1-2)1(+x ≥0，即2)1(+x ≤1故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈.∴y =cos β=sin β+cos β+1=2sin （β+4π）+1 50044ππβπβ≤≤∴≤+≤∴ -22≤sin （β+4π）≤1∴ 0 ≤2sin （β+4π）+1≤1+2故函数的值域为[0,1.八、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例18求函数y =解：原函数可化简得：|2||8|y x x =-++上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ）， B （- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P 在线段AB 上时，|2||8|||10y x x AB =-++==当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，|2||8|||10y x x AB =-++>=故所求函数的值域为：[10,)+∞.例19求函数y =解：原函数可变形为：y =上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点 A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，min ||y AB ===故所求函数的值域为)+∞. 例20求函数y =的值域。
解：将函数变形为：y =上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。
即：y =∣AP ∣-∣BP ∣，由图可知：（1） 当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '，则构成△ABP '，根据三角形两边之差小于第三边，有||||||||AP BP AB ''-<=即：-26＜ y ＜26（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时， 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。
综上所述，可知函数的值域为：(.注：由例19，20可知，求两距离之和时，要将函 数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距 离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
九 、不等式法利用基本不等式,,)a b c a b c R +++≥∈，a b +≥(,)a b R +∈求函数的值域，其题型特征是当解析式是和式时要求积为定值，当解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例21 求函数2sin sin 2y x x =的值域。
解：4sin sin cos y x x x =24sin cos x x =242222222316sin cos 8sin sin (22sin )sin sin 22sin 8()36427y x x x x x x x x ==-++-≤= 当且当22sin 22sin x x =-，即当22sin 3x =时，等号成立。