求函数值域的十种方法 一 、 直 接 法 （ 观 察 法 ） ： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察
得到。 例 1：求函数 y
x 1的值域。
解：∵ x 0 ，∴ x 1 1 ， ∴函数 y
共 16 页
二 、 配 方 法 ：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形
如 F ( x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。 例 2：求函数 y x 2 4 x 2 （ x [1,1] ）的值域。 解： y x 2 4 x 2 ( x 2)2 6 ， ∵ x [1,1] ，∴ x 2 [3, 1] ，∴ 1 ( x 2)2 9 ∴ 3 ( x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5 ∴函数 y x 2 4 x 2 （ x [1,1] ）的值域为 [3,5] 。 例 3、求函数 y 2 x 2 4 x ( x 0, 4) 的值域。 解：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：
f ( x) x 2 4 x( f ( x) 0) 配方得： f ( x) ( x 2) 2 4( x 0, 4) 利用二次函数
的相关知识得 f ( x) 0, 4 ，从而得出： y 2, 2 。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义 域的限制，本题为： f ( x) 0 。 例 4、若 x 2 y 4, x 0, y 0 ，试求 lg x lg y 的最大值。 分析与解：本题可看成第一象限内动点 p( x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数
目录
求函数值域的十种方法............................................................................................................................... 1 一、直接法（观察法）： .......................................................................................................................... 1 二、配方法 ....................................................................................................................................................... 2 三、反函数法 .................................................................................................................................................. 2 四、分离变量法 ............................................................................................................................................. 3 五、换元法 ....................................................................................................................................................... 4 六、判别式法 .................................................................................................................................................. 7 七、函数的单调性法 ................................................................................................................................... 8 八、利用有界性 ............................................................................................................................................. 9 九、图像法（数型结合法） ...................................................................................................................10 十：不等式法 ................................................................................................................................................13 十一、 多种方法综合运用 .....................................................................................................................14