bP RA = l
x1 l
C
AC段： 段 A为原点，在距 点X1处截取左段梁作为研究对象 为原点， 为原点 在距A点 处截取左段梁作为研究对象
bP Q1 = RA = l
(0 < x1 < a)
ＲA A
x1 Q1
M1
bP M 1 = RA x1 = x1 (0 ≤ x1 ≤ a) l
处受集中力P作用 例7—3．图示简支梁，在截面 处受集中力 作用， ．图示简支梁，在截面C处受集中力 作用， 试作梁的剪力图与弯矩图。 试作梁的剪力图与弯矩图。 BC段：B为原点，在距 点X2处截取 ＲA 为原点， 段 为原点 在距B点 处截取 a 左段梁作为研究对象 根据平衡条件分别得： 根据平衡条件分别得：
第七章
梁 的 弯 曲 内 力
Shear Forces and Bending Moments
教学要求与教学目标
1.了解工程实例中的弯曲问题与简化方法， 了解工程实例中的弯曲问题与简化方法， 了解工程实例中的弯曲问题与简化方法 理解平面弯曲概念； 理解平面弯曲概念； 掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、 掌握梁的内力计算方法，熟练绘制剪力图、 弯矩图； 弯矩图； 掌握载荷、剪力、 掌握载荷、剪力、弯矩的关系并用于绘制剪 力弯矩图； 力弯矩图； 了解叠加法做内力图。 了解叠加法做内力图。
C Q
M
可知 由平衡条件 ∑ FY = 0 C截面上一定存在沿铅垂方向的内力，这种 截面上一定存在沿铅垂方向的内力， 截面上一定存在沿铅垂方向的内力 与 截面平行的内力称为剪力， 截面平行的内力称为剪力，以Q表示 表示 由平衡方程确定剪力的大小及实际方向
∑F
Y
= RA − q ⋅ AC − Q = 0
M = 10 × 0.2 − 20 × 0.22 = 1.6( KNm ) 2
（C截面弯矩的实际方向为逆时针 截面弯矩的实际方向为逆时针
剪力与弯矩的符号规 定： 因左、右截面上剪力、 因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的 。 故对弯曲内力的符号做如下规定： 故对弯曲内力的符号做如下规定： 有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负； 有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负； 顺时针旋转趋势的剪力为正 使保留段产生下凸变形的弯矩为正 反之为负。 下凸变形的弯矩为正， 使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反之为负。
P
，
(a)
A
x L
B
∑F = −Q − P = 0
Y
Q = −P
(b)
A
x
O Q
M（x） （ ）
∑m = Px+ M = 0
O
M = − Px
Q
(c)
以上两式即为AB梁的剪力方程与弯矩 以上两式即为AB梁的剪力方程与弯矩 AB 方程。 方程。 (d) 依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图 与弯矩图
P M
有什么一般规律？ 有什么一般规律？
AB受集度为 10a）。 例7—4．一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（图7—10a）。 4 一简支梁AB受集度为q的均布载荷作用（ 10a q 作此梁的剪力图与弯矩。 作此梁的剪力图与弯矩。 解：求支座反力
R A = RB = 1 ql 2
A
ＲA
x q x
o
B l ＲB
C
bP RA = l
ＲA A
a
Q1
M1
在截面上， 在截面上，按正向加上剪力与弯矩
由平衡方程
得
∑F
得
= RA − Q 1= 0 Pb Q = RA = 1 l
Y
由
∑m = R a − M
C
A
1
=0
M = Pab / l
1
将梁截开， 在C +处，将梁截开，取左部分为研究对象
ＲA A Q2
a
PM
2
在截面上， 在截面上，按正向加上剪力与弯矩 由平衡方程
用截面法分析C处截面的内力 用截面法分析 处截面的内力: 处截面的内力 2.梁的内力计算 梁的内力计算
q=20Ｎ/mm
由整体的平衡方程易求 得：
R A = RB = 10 KN
A 0.2m ＲA q A ＲA
C
B １m ＲB
以一假想平面在C处将梁截开， 以一假想平面在 处将梁截开， 处将梁截开 选左段为研究对象
A
m Q1 = − RA = − l (0 < x1 ≤ a)
m M 1 = − RA x1 = − x1 l
2）建立剪力方程与弯矩方程 ） l 分别于C 处将梁截开， 分别于 —与C+处将梁截开， 分别取左段与右段为研究对象， 分别取左段与右段为研究对象， 并分别以Q 代表它们各自的内力，可求得： 并分别以 1 、M1和Q2、M2代表它们各自的内力，可求得：
A x1 l M2
P
ＲB b x2 B
C
aP Q2 = − RB = − l
M 2 = RB x2 = aP x2 l
(0 < x2 < b)
(0 ≤ x2 ≤ b)
x2 Q2 bp/l ap/l
Pab/l
ＲB B
根据AC、 两段各自的剪力方程与弯矩方程 两段各自的剪力方程与弯矩方程， 根据 、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程， 分别画出AC、 两段梁的剪力图与弯矩图 两段梁的剪力图与弯矩图。 分别画出 、BC两段梁的剪力图与弯矩图。 从剪力图与弯矩图可以看出， 集中力作用处 作用处， 从剪力图与弯矩图可以看出，在集中力作用处， 其左、右两侧横截面上的弯矩相同 弯矩相同， 其左、右两侧横截面上的弯矩相同， 剪力则发生突变， 则发生突变 而剪力则发生突变， 突变量等于该集中力之值。 突变量等于该集中力之值。
处受集中力P作用 例7—3．图示简支梁，在截面 处受集中力 作用，试作梁的 ．图示简支梁，在截面C处受集中力 作用， 剪力图与弯矩图。 剪力图与弯矩图。 解： 由平衡方程求支反力： 由平衡方程求支反力：
ＲA a A P ＲB b B x2
aP RB = l 建立剪力方程与弯矩方程： 建立剪力方程与弯矩方程：
处受集中力P作用 例7—1．图示简支梁，在截面 处受集中力 作用， ．图示简支梁，在截面C处受集中力 作用， 试求C 截面上内力。 试求 +及C- 截面上内力。
ＲA a A l ＲB b B
P
解： 由整体的平衡方程可求 得约束力为： 得约束力为：
aP RB = l 将梁截开， 在C -处，将梁截开，取左部分为研究对 象
ＲA A M2 m x2 x1 M1 Q1 ＲB mb/l
m RA = l
m RB = l
A
x1
C
x2
B
m/l
(0 ≤ x1 < a)
ma/l m (0 < x ≤ b ) B Q2 = − RB = − ， Q2 2 l 由内力图可以看出，在集中力偶作用处， 由内力图可以看出，在集中力偶作用处， x 其左右两侧横截面上的剪力相同， M 2 = −m + RB x2 = m( 2 − 1) (0 ≤ x 2 < b) 其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯 矩发生突变， 矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩 l
截面上剪力的实际方向向下） （C截面上剪力的实际方向向下） 截面上剪力的实际方向向下
Q = 10－20 × 0.2 = 6( KN )
q A ＲA C M Q
可知 C截面上一定存在另一个内力分量， 截面上一定存在另一个内力分量， 截面上一定存在另一个内力分量 称为弯矩， 表示。 即力偶,称为弯矩 即力偶 称为弯矩，以M表示。 表示
1 弯曲的相关概念
p m q 对称轴
纵向对称面
外载荷矢量垂直于杆件轴 线时， 线时，杆件将产生弯曲变 轴线形 以弯曲为主要变形的构 称为梁 件，称为梁
垂直于梁轴线的外力， 垂直于梁轴线的外力，又均作用在梁的某 个纵向对称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ内， 个纵向对称面内，则梁的轴线将弯成位于 此对称面内的一条平面曲线， 此对称面内的一条平面曲线，此种弯曲称 平面弯曲。 为平面弯曲。
2．教学重点和难点： ．教学重点和难点： 剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法； 剪力、弯矩的符号约定与简单计算方法；剪 力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、 力图、弯矩图的绘制；剪力、弯矩、荷载的 关系与内力图简单作法应用。 关系与内力图简单作法应用。 3．习题课安排： ．习题课安排： 剪力弯矩计算，剪力、 剪力弯矩计算，剪力、弯矩图绘制及简单作 法求解实例。 法求解实例。
列剪力方程与弯矩方程 在距A 处截取左段梁为研究对象， 在距A点x处截取左段梁为研究对象， 由平衡方程 A ＲA ∑ FY = RA − qx − Q = 0 得 由 得
M Q
ql Q = RA − qx = − qx 2
ql/2 ql/2 ql2/8
x ∑ mo = − R A x + qx ⋅ 2 + M = 0 x ql q 2 M = R A x − qx ⋅ = x − x 2 2 2
∑F
得 由 得
Y
= RA − P − Q = 0
2
Pb Q = RA − P = −P 2 l
= ∑ mC R a − M 2= 0
A
M = Pab / l
2
3.剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 剪力方程与弯矩方程、 剪力方程与弯矩方程
沿梁轴方向选取坐标x，以此表示各横截面的位置， 沿梁轴方向选取坐标 ，以此表示各横截面的位置， 建立梁内各横截面的剪力、弯矩与x的函数关系 的函数关系， 建立梁内各横截面的剪力、弯矩与 的函数关系，即
），右端固定 例7—2．一悬臂梁 （图7—9a），右端固定，左端受集中力 作用 ．一悬臂梁AB（ ），右端固定，左端受集中力P作用 作此梁的剪力图及弯矩图。 作此梁的剪力图及弯矩图。 解： P （1）列剪力方程与弯矩方程 以A为坐标原点，在距原点x处将梁截开， 为坐标原点，在距原点x处将梁截开， 取左段梁为研究对象， 取左段梁为研究对象， 由平衡方程求x 由平衡方程求x截面的剪力与弯矩