直梁的弯曲
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拉（压）杆：承受轴向拉、压力 轴 ：承受扭矩
墙
桥板 楼板 梁：承受横向力
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
P
梁的弯曲实例与概念
受力特点：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面)； 变形特点：杆的轴线将由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件在工程上统称为梁。
4
桥式吊车
5
火车轮轴
6
车削工件
7
纵向对称面：通过梁的轴线和截面对称轴的平面。 矩形截面梁有一个纵向对称面
4. 梁支座反力
利用静力学平衡方程求支座反力：
X 0, Y 0, M 0
y
R Ax A
P
l/2
Bx
RBy
X 0 Y 0
M
A
R Ay
RAx 0
l
RAy RBy P 0
RBy l P l / 2 0
0
RBy P / 2 RAy P / 2
RB
2. 从弯曲变形看弯矩
加载后发生弯曲：
1 ）纵向纤维变成了 弧线，凹入边纵向纤 维 m1m2 缩短了，突出 边 n1 n2 伸 长 了 ， O1O2长度不变。 2 ） 横 向 线 a1 b1 、 a2b2仍为直线，说明 变形前的横截面变 形后仍然保持为平
A
a
C
P
P
D
a
B
面。
3）a1b1与a2b2不再平行（互相倾斜），说明横截 面a1b1与a2b2发生了相对转动。
y
0 RA P Q2 0
Q2 RA P
注意这里Q2为负
m
O
(F ) 0 M 2 RA x2 P( x2 a) 0
M 2 RA x2 P( x2 a)
思考：如果取右半段如何？ 数值相同，方向相反
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由静力平衡方程知： RA=RB=P
用截面法求 1-1 截面内 力：以任一段如左段为 对象，受力如图所示。
q q(x) 集中力偶 T T 集中力
P
均匀分布力 非均匀分布力 分布力
T
还有支座反力
梁的外力、梁的支座及分类
2. 支座 A A A
a) 活 动 铰 链 支 座
b) 固 定 铰 链 支 座
c) 固 定 端
3. 梁的类型
①简支梁 ：一端是固定铰链支座，另一端是活动铰 链支座。
②外伸梁：一个固定铰链支座和一个活动铰链支 座，有一端或两端伸出支座以外 ③悬臂梁：一端固定，另一端自由。
剪力
a
A
1 1C
P
P
D
a
B
RA
x1 Q1
RB
M1
Y 0
Q1 RA P
RA
M1
RA Q1 0
P
Q1
P
RB
弯矩
M 0
M1 RA x1 Px1
求2-2截面内力：以右段为对象 剪力Y 0
RA Q2 P 0
Q2 P RA 0 M2 P a
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（1）以梁为研究对象，先求支座反力RA、RB
m
A
(F ) 0 RBl Pa 0
Pa RB l
F
y
0 RA RB P 0
RA P RB P
l a l
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（2）用截面法求1-1上的内力。 内力 Q1— 剪力（平行横截面）
F
y
0 RA Q1 0
③变形后梁的轴线在纵向对称面内弯成平面曲线。 平面弯曲是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本 章讨论平面弯曲。 10
梁的外力、梁的支座及分类
1. 外力
（1）集中力P 作用面积很小时可视为集中力（N） （2）分布力q 沿梁轴线分布较长（N/m） （3）集中力偶m 力偶的两个力分布在很短的一段梁上 （Nm）
Q1 RA
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内力偶矩M1—弯矩(在纵向对称 面内，作用在横截面上)
m
O
(F ) 0 M1 RA x1 0
O — 横截面的形心
M1 RA x1
（3）用截面法求2-2上的内力。 截面2-2上也有剪力弯矩
F
y
0 RA P Q2 0
Q2 RA P
19
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
弯矩计算法则：梁在外力作用下，其任意截 面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中 性轴取矩的代数和。
凡是向上的外力，其矩取正值；凡是向下的 外力，其矩取负值；若梁上有集中力偶，截面左 侧顺时针方向的力偶或截面右侧逆时针方向的力 偶取正值，反之取负值。
中性层：梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短 的纵向纤维层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线
中性层
x
z
中性轴
y
梁的弯曲，实际是上各个 截面绕着中性轴转动。
中性层以上的纵向纤维缩短，产生压缩应力， 中性层以下的纵向纤维拉伸，产生拉伸应力，中 性轴上各点的正应力为零。 M
横截面上的弯矩即是横截面垂直的分布内力的合力 偶矩：
P
D
弯矩 M 0
P( x2 a) RA x2 M 2 0
a
A P
弯曲 变形时 梁横截 面上的内力包括剪力Q 和弯矩M。 AC 段 和 BD 段 截 面 内有剪力和弯矩，属 于剪切弯曲。
2 2
a
B
C
RA RA
x1 Q1
M1
x2
RB
P
M1
Q1
M2 Q2
RB
P
CD 段截面内只有弯 矩，没有剪力（ =0 ）， 属于纯弯曲。
4. 梁支座反力 Rx
MA
y
A Ry
q
B
l
x
X 0
Rx 0
Y 0
M
A
Ry q l 0
l M A ql 0 2
Ry ql
1 2 M A ql 2
0
梁横截面上的内力—剪力和弯矩
一、截面法求内力—剪力与弯矩
梁横截面上的内力仍用截面法求。
【例】有一简支梁AB，梁上有集中载荷P，求截面上 1-1与2-2的内力。
纵向对称面
工程中的梁一般都有纵向对称面，如：矩形、 圆、环、工字、T形截面梁。
平面弯曲：具有纵向对称面的梁，当梁上的外 力均垂直于梁的轴线，并作用在纵向对称面内， 梁的轴线将弯成此平面内的一条平面曲线，这种 弯曲称为平面弯曲。
平面弯曲的概念
P
M
q
RA
RB
①梁有纵向对称面；
②载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；
M ydA
A
弯矩阻止该截面在外力矩作用下所发生的进一步转 动，并且力图恢复梁的原形。
二、剪力和弯矩的计算
剪力计算法则：梁任一横截面上的剪力等于 该截面一侧（左侧或右侧都可）所有横向外力的 代数和。 截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力 取正值；截面左侧向下的外力和截面右侧向上的 外力取负值。 P P Q Q Q Q P P Q=-P<0 Q=-P<0 Q=P>0 Q=P>0