2021届全国卓越联盟新高考原创预测试卷（二十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（共12题，每小题5分）1.集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a的值为（ ）．A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D 【解析】因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=，所以4a =，选D. 2.设命题2:,3x p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ） A. 2,3x x R x ∀∈≤B. 2,3x x R x ∀∈=C. 2,3x x R x ∃∈≤D.2,3x x R x ∃∈>【答案】C【解析】 【分析】将“任意”改成“存在”，大于改成小于等于即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知2,3x x R x ∀∈>的否定为2,3x x R x ∃∈≤. 故选：C【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两方面的变化：1.量词的符号，2.命题的结论.本题是一道容易题.3.在ABC 中，若 3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B.2sin1C. 2sin1D. sin 2【答案】B 【解析】 【分析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对弧长是22sin1R =，故选：B.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 5.设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C. f(x+π)的一个零点为x=6π D. f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D. 6.已知53cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ） A. 725-B.725C.35D.35【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式可得3sin 5α=-，再利用公式2cos 212sin αα=-计算即可. 【详解】由已知，5cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即3sin 5α=-， 所以223cos212sin 12()5αα=-=-⨯-=725. 故选：B【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 7.函数 f （x ）=lnx+2x-6的零点x 0所在区间是（ ） A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】C 【解析】 【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间．【详解】∵连续函数f （x ）=lnx+2x-6是增函数，∴f （2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f （3）=ln3＞0， ∴f （2）•f（3）＜0，故函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选C ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A. 12-C. D.12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则53 sin 333f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．9.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A. 55-B. 25-C.25D.5 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max 5f x =，从而得到sin 2cos 5θθ-=；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos 5sin f x x x x ϕ=-=+，其中tan 2ϕ=-()max 5f x ∴=，即sin 2cos 5θθ-=又22sin cos 1θθ+= 25cos 5θ∴=-【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果. 10.已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A. ,3πωπϕ==B. 2,3πωπϕ==C. ,6πωπϕ==D.2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，故6π=ϕ.故选：C【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.11.设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x >f 的解集是（ ）A. (3,1)(3,)-⋃+∞B. (3,1)(2,)-⋃+∞C. (1,1)(3,)-+∞D. (,3)(1,3)-∞-【答案】A 【解析】试题分析：由函数f （x ）＝246,0{6,0x x x x x -+≥+<得(1)3()3f f x =∴>不等式化为即20{463x x x ≥-+>或0{63x x <+>所以301-303-31x x x x x >≤<<∴<<或或或考点：分段函数和解不等式．12.已知()(1)|ln |xf x x x =≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,2(2,)e e⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B. 11,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭C. (1,)e e -D. 1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】C 【解析】 【分析】由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案.【详解】由22[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()|ln |ln x x f x x x ==，令()ln x g x x=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'()0g x >得x e >， 由'()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示要使原方程有4个根，则01m em e<<⎧⎨+>⎩，解得1e m e -<<.故选：C【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.二、填空题（共4题，每小题5分）13.()12xex dx +⎰= ______ ．【答案】e 【解析】 【分析】 利用积分运算得()121002()|xx ex dx e x +=+⎰，计算可得答案.【详解】因为()12102()|xx ex dx e x +=+⎰(1)1e e =+-=. 故答案为：e .【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.14.函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ． 【答案】(1,)+∞ 【解析】试题分析：由22310x x -+>得，12x <或1x >，由复合函数单调性可知，函数()212log 231y x x =-+的单调递减区间为(1,)+∞.考点：对数函数性质、复合函数单调性. 15.已知幂函数22()()kk f x x k -++=∈N 满足(2)(3)f f <，则()f x 的解析式为_______．【答案】2()f x x =【解析】 【分析】(2)(3)f f <⇒12k -<<，结合N k ∈可得0k =或1k =，代入解析式即可得到答案.【详解】由(2)(3)f f <，得222k k -++<223k k -++，即222()13k k -++<，故220k k -++>，解得12k -<<，又N k ∈，所以0k =或1k =，当0k =或1k =时，()f x 的解析式均为2()f x x =.故答案为：2()f x x =【点睛】本题考查求幂函数的解析式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0>ω，使()f x x ω对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”. 现给出下列函数： ①()4f x x =； ②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12x x ，均有()()12124f x f x x x --.其中是“条件约束函数”的序号是__________（写出符合条件的全部序号）. 【答案】①③④ 【解析】对于①，取4ω=即可；对于②，因为0x →时，()f x x→∞，所以不存在0>ω，使()f x x ω对一切实数x 均成立；对于③，因为()()2222125214x xf x x x x x ==-+-+，取12ω=即可； 对于④，由于()f x 为奇函数，故()00f =，令120x x x ==，得()4f x x ，故()4f x x --，即()4f x x -，所以()4f x x ，取4ω=即可.点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．三、简答题17.已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅，ABC ∆的内角,,A B C所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值.【答案】（1）S 2）cos 2α= 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示得()213sin cos sin 2f x a b x x x =⋅=+-，再根据二倍角公式及配角公式得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据1,2B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭可解得2,33B C A ππ+==，由正弦定理可得,6B π=即得2C π=，最后根据直角三角形面积公式求面积（2）由()35f α=得3sin 2,65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭利用同角三角函数关系得4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后根据2266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和余弦公式展开得cos2α的值.【详解】()2113sin cos sin cos2sin 22226f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以12S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18.已知函数()sin 2cos 22sin cos 36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0,]π上的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）最小正周期为π，对称轴方程为,122k x k Z ππ=-+∈．（Ⅱ）20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由倍角公式及辅助角公式可得()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用2T πω=及2,6x k k Z ππ+=∈可得到周期与对称轴方程；（Ⅱ）注意左右平移及横坐标伸缩变换均针对自变量x ，由题意得到()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出()g x 所有减区间，再与[0,]π求交集即可. 【详解】（Ⅰ）()11sin 2cos 2cos 2sin 2sin 22222f x x x x x x =++-- ()12sin 222sin 22f x x x x x ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos sin 2sin 2cos 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为π， 令2,6x k k Z ππ+=∈，得函数()f x 的对称轴方程为,122k x k Z ππ=-+∈． （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后所得图象的解析式为2cos 22cos 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()12cos 22cos 233g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令223k x k ππππ≤+≤+，所以22233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 又[]0,x π∈，所以()y g x =在[]0,π上的的单调递减区间为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查余弦型函数的性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、图象平移求解析式等知识，是一道中档题.19.在ABC ∆中,,3B D π=为BC 上的点, E 为AD 上的点,且8,410,4AE AC CED π==∠=.（1）求CE 的长;（2）若5CD =,求DAB ∠的余弦值.【答案】(1) 42CE =433-. 【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用．（1）中，在AEC ∆中可得AEC ∠的大小，运用余弦定理得到关于CE 的一元二次方程，通过解方程可得CE 的值；（2）中先在CDE ∆中由正弦定理得4sin 5CDE ∠=，并根据题意判断出CDE ∠为钝角，根据3DAB CDE π∠=∠-求出cos DAB ∠．试题解析：（1）由题意可得344AEC πππ∠=-=， 在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以21606482CE CE =++， 整理得282960CE CE +-=， 解得：42CE = 故CE 的长为42（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，即25sin sin4CDE π=∠所以25sin 424244CDE sin π∠==⨯=， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而435<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭ 3143433525-=-⨯+⨯=． 20.设函数f （x ）=x+a 2x +blnx ，曲线y=f （x ）过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求a ，b 的值； （II ）证明：f(x)≤2x -2．【答案】（I ）a ＝－1，b ＝3. （II ）见解析 【解析】【详解】试题分析： (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋bx. 由已知条件得(1)0{(1)2f f '==即10{122a ab +=++=解得a ＝－1，b ＝3. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则 g′(x)＝－1－2x ＋3x＝－.当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x －2.考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式组的证明． 点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性．定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解．21.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0+∞） （2）a ≤－2 【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x'+++=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x 当x ∈(0时，()f x '＞0；x ∈+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于12()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x +++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0. 从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-. 22.在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 29ρθ=，点23,6P π⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值． 【答案】（1）332132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），229x y -=；（2）.【解析】试题分析：（1）利用条件，求得直线OP 的参数方程，把曲线C 的方程为2cos 29ρθ=化为直角坐标方程； （2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果. 试题解析：（1）∵化为直角坐标可得3)P ，=6πα， ∴直线OP 的参数方程为：33,2{13.2x y t =+=∵2222cos sin 9ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程：229x y -=，得：24360t t +-=， ∴1243t t +=-1260t t =-<， ∴121212||11112||||||||||t t PA PB t t t t -+=+==．考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．。