8、四阶龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题
（1）算法原理：
用区间 内四个不同点上的函数值的线性组合就得到四阶龙格-库塔法。
四阶龙格-库塔法
其中， 均为待定系数。
类似于前面的讨论，把 分别在 点展开成 的幂级数，代入 并进行花间，然后与 在 点上的泰勒展开式比较，使其两式比较，使其两式右端直到 的系数相等，经过复杂的数学演算可得到关于 的一组特解
（4）具体算例及求解结果：
例：导出计算 的牛顿迭代公式，并计算 。（课本P39例2-16）
求解结果：
2、列主元素消去法求解线性方程组
（1）算法原理：
高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角方程组求解。
从而得到下列常用的经典公式
经典的龙格-库塔法每一步需要4次计算函数值 ，它具有四阶精度，即局部截断误差是 。
（2）计算机程序框图：（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 处置点， 区间长度， 计算次数
输出变量： 初值问题的数值解法结果
（4）具体算例及求解结果：
例：设取步长 ，从 到 ，用经典公式求解初值问题
0.2
1.184097
1.184097
0.7
1.562514
1.552514
0.3
1.266201
1.266201
0.8
1.616475
1.616474
0.4
1.343360
1.343360
0.9
1.678320
1.678166
0.5
1.416402
1.416402
1.0
1.737867
1.737867
例：根据给定的函数 的实例数据表，试用最小二乘法求二次拟合多项式。（课本P186习题3）
求解结果：
6、变步长梯形求积分
（1）算法原理：
设将积分区间 分成 等份，即有 个子区间，分点 ，其中步长
对于子区间 ，利用体型求其积分近似值
对于子区间 有
对于子区间 再取其中点
作新节点，此时区间数增加了一倍为 ，
输出变量： 解向量元素
（4）具体算例及求解结果：
例：用列选主元法求解下列线性方程组（课本P65例3-3）
求解结果：
3、 分解法求解线性方程组
（1）算法原理：
求解线性方程组 时，当对 进行 分解，则等价于求解 ，这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，由
求出 ，再利用回带，由 求出 。
华北电力大学
实验报告
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实验名称数值计算方法》上机实验
课程名称数值计算方法
专业班级：电力实08学生姓名：李超然
学 号：200801001008成 绩：
指导教师：郝育黔老师实验日期：2010年04月
数值计算方法上机实验报告
一、各算法的算法原理及计算机程序框图
1、牛顿法求解非线性方程
（1）算法原理：
对于非线性方程 ，若已知根 的一个近似值 ，将 在 处展开成一阶泰勒公式
忽略高次项，有
右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程 。将非线性方程 的根 代入 ，即
解出
将右端取为 ，则 是比 更接近于 的近似值，即
这就是牛顿迭代公式。
（2）计算机程序框图：（见）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 迭代初值， 迭代精度， 迭代最大次数
输出变量： 当前迭代次数， 当前迭代值
列选主元是当高斯消元到第 步时，从 列的 以下（包括 ）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到 的位置上。交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响出变量说明：
输入变量： 系数矩阵元素， 常向量元素
称为改进欧拉公式。
（2）计算机程序框图：（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 处置点， 区间长度， 计算次数
输出变量： 初值问题的数值解法结果
（4）具体算例及求解结果：
例：求解初值问题（课本P242例7-2）
求解结果：
0.1
1.095909
1.095909
0.6
1.485956
1.485955
求解结果：
5、最小二乘法的曲线拟合
（1）算法原理：
对于给定的一组数据 ，要在给定的函数空间
中找一个函数
使 满足
这种求拟合函数 的方法称为曲线拟合的最小二乘法， 称为最小二乘法的最小二乘解。
（2）计算机程序框图：
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 已知数据点
输出变量： 拟合多项式的系数
（4）具体算例及求解结果：
求解结果：
0.2
1.183229
1.183229
0.4
1.341667
1.341667
0.6
1.483281
1.483281
0.8
1.612514
1.612514
1.0
1.732142
1.732142
二、上机体验与收获
本次上机内容为牛顿法求解非线性方程、列主元素消去法求解线性方程组、LU分解法求解线性方程组、拉格朗日插值、最小二乘法的曲线拟合、变步长梯形求积分、改进欧拉方法求5解常微分方程的初值问题、四阶龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题
对子区间 ，其积分近似值
对区间 有
（2）计算机程序框图：
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 积分区间， 精度
输出变量： 积分结果
（4）具体算例及求解结果：
例：用变步长梯形公式求积法计算 。(课本P209例6-13)
求解结果：
7、改进欧拉法
（1）算法原理：
当 取值较小时，让梯形法的迭代公式只迭代一次就结束。这样先用欧拉公式求得一个初步近似值 ，称之为预报值，预报值的精度不高，用它替代梯形法右端的 ，再直接计算得出 ，并称之为校正值，这时得到预报-校正公式。将预报-校正公式
由于 是一个关于 的 次多项式，所以 为关于 的不高于 次的代数多项式。当 时， ，满足插值条件。
（2）计算机程序框图：（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 插值节点
输出变量： 插值所得到被插函数在插值点的近似值
（4）具体算例及求解结果：
例：已知 的值如下表所示。
的值
0
0
1
试用拉格朗日多项式计算 的估计值。
（2）计算机程序框图：（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量： 系数矩阵元素， 常向量元素
输出变量： 解向量元素
（4）具体算例及求解结果：
例：用杜里特尔分解法求解方程组（课本P74例3-8）
求解结果：
4、拉格朗日插值法
（1）算法原理：
构造基函数 ，可以证明基函数满足下列条件：
，
对于给定 个节点， 次拉格朗日插值多项式由下式给出：