第3章 电容式传感器习题
1、 简述电容式传感器的工作原理。

2、简述电容式传感器的优点。

3、试计算习题4—2图所示各电容传感元件的总电容表达式。

习题图4-2
解：由习题图4-2可见
（1） 三个电容串联
111d S
C ε=
， 222d S
C ε=
， 333d S
C ε=
则 S
d d d S d S d S d C C C C 3212
133123213322113211
111εεεεεεεεεεεε++=
++=++=串
故
3
32211213312321321///εεεεεεεεεεεεd d d S
d d d S C ++=
++=
串
（2）两个电容器并联
d S
C C C C d
S
C C C εε222121==+====并
（3）柱形电容器
()12/ln 2d d L C πε=
4、在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路，如习题图4-3所示。

已知：δ0=0.25mm ；D=38.2mm ；R=Ω；U sr =60V(交流)，频率f=400Hz 。

试求： (1)该电容传感器的电压灵敏度K u (V/µm)；
(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10µm 时，输出电压U sc 值。

习题图4-3
解：由传感器结构及其测量电路可知 （1）初始电容
2
0214
δπ
εD C C C =
==
(
)
()pF F 6.40106.401025.04102.381085.8123
2
312=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
----π
由于 12
00106.4040021211-⨯⨯⨯===ππωfC C X c
())k .(R .Ω=>>Ω⨯=1510896
则
00022δd
U C C U U i i ∆=∆=
从而得 m
V mm V U d U K i u μδ/12.0/12025.0260200==⨯==∆=
(2) U 0 = K u Δd=m×10m=
5、有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm ，假设与被测工件的初始间隙d 0=0.3mm 。

试求：
(1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10µm ，电容变化量为多少? (2)如果测量电路的灵敏度足K u =100mV/pF ，则在△d=±1µm 户时的输出电压为多少? 解：由题意可求
（1）初始电容：
()
()pF
F d r d S
C 48.11048.1103.01041085.8123
2
3120
2
00
00=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
=
=
----ππεε
由 00
d d
C C ∆=∆，则当Δd=±10um 时 pF
d d C C 049.03.0101048.13
00±=⨯±⨯=∆=∆-
如果考虑d 1=0.3mm+10µm 与d 2=0.3mm ﹣10µm 之间的电容变化量ΔC′，则应为
ΔC′=2|ΔC|=2×= (2) 当Δd=±1µm 时
pF .pF .
m .m C d d C 0049
048110301
300±=⨯μ⨯μ±=∆=
∆
由 K u =100mV/pF=U 0/ΔC，则
U 0=K u ΔC=100mV/pF×(±=±
6、有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。

选用变压器交流电桥作
测量电路。

差动电容器参数：r=12mm ；d 1=d 2=d 0=0.6mm ；空气介质，即ε=ε0=×10-12
F/m 。

测量电路参数：u sr =u=sr U •
= 3sinωt (V)。

试求当动极板上输入位移(向上位移) △x=0.05mm 时，电桥输出端电压U sc ?
习题图4-5
解：由习题图4-5可求
初始电容
C 1=C 2=C 0=S/d=
r 2
/d 0
()
pF
.F (6761067610601012108581232)
312=⨯=⨯⨯⨯π⨯⨯=
----
变压器输出电压
•
••••
+-=+-=-⨯+=U C C C C U Z Z Z Z U U Z Z Z U sc
212121122122
其中Z 1 ,Z 2 分别为差动电容传感器C 1 ,C 2 的阻抗.在ΔX<<d 0时，C 1 = C 0 +ΔC, C 2 = C 0ΔC，且C/C 0=d/d 0，由此可得
t sin .t sin ..U d x U C C U sr sc
ω=ω⨯=∆≈∆=•••
25036005000(V)
7、如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测量电路。

差动电容器参数为：a=40mm ，b=20mm ，d l =d 2=d 0=1mm ；起始时动极板处于中间位置，C l =C 2=C0，
介质为空气，ε=ε0=×10-12
F/m 。

测量电路参数：D 1、D 2为理想二极管；及R 1=R 2=R=10KΩ；R f =1MΩ，激励电压U i =36V ，变化频率f=1MHz 。

试求当动极板向右位移△x=10mm 时，电桥输出端电压U sc ?
习题图4-6
解：由习题图4-6可求
传感器初始电容
3
3
312000001011020210401085.82----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==d b a d S C εε
=×1012
（F ）=
当动极板向右移Δx=10mm 时，单个电容变化量为
()pF C C a x C
77.154.321
2/40102/00=⨯==∆=
∆ 或， pF F d x b C 77.1)(1077.110110*********.812
3
3
31200=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
∆=∆-----ε
则 C 1 = C 0+ΔC，C 2 = C 0∆C ，由双T 二极管网络知其输出电压 U SC = 2 k U i f ΔC
()
()
()()
()V C
f U R R R R R R i f f
f 55.21077.1103610102101021010222
12
66
2
64
6
4
4
2≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+=∆++=-
8、一只电容位移传感器如习题4-7图所示，由四块置于空气中的平行平板组成。

板A 、C 和D 是固定极板；板B 是活动极板，其厚度为t ，它与固定极板的间距为d 。

B 、C 和D 极板的长度均为a ，A 板的长度为2a ，各板宽度为b 。

忽略板C 和D 的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容C AC 和C AD 的表达式(x=0时为对称位置)。

习题图4-7
解：参见习题图4-7知
C AC 是C AB 与C BC 串联，C A
D 是C AB 与C BD 串联。

当动极板向左位移a/2时，完全与C 极板相对，此时 C AB =C BC =ε0ab/d ， 则
C AC =C AB /2=C BC /2=ε0ab/2d ； C A
D =ε0ab/(2d+t)。

当动极板向右移a/2时，与上相仿，有
C AC =ε0ab/(2d+t)；C A
D =ε0ab/2d
9、已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2x2)cm 2
，间隙d 0=0.1mm 。

求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d 0，而另一侧间隙为d 0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。

解：初始电容
3
4120
000101.010221085.8---⨯⨯⨯⨯⨯=
=
=
d S
d S
C εε
=×10-12
(F) = 当装配不平衡时可取其平均间隙
22000b d )b d (d d +
=++= =+2=(mm) 则其电容为
34
12010105.010221085.8---⨯⨯⨯⨯⨯=
=d S
C ε =×10-12
(F)=。