第一章有理数
1.1正数和负数
1.正负数
正数：大于0的数叫做正数.
负数：小于0的数叫做负数.
0：非正非负
【注】
①符号:一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.
②正数前面的“+”号可以省略，负数前面的“-”号不可以省略．
2.相反意义的量
用正数和负数表示具有相反意义的量:如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
【注】
“相反意义的量”包括两个方面的含义:一是相反意义;二是要有量.
3.“O”的特征
（1）0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界；
（2）0是自然数；
（3）0的意义：
①有时表示没有，如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；
②有时是一个数，如0度是一个确定的温度；
③有时也作为基准，如零上3度.
1.2有理数
知识点一有理数
1、有理数的定义：整数和分数统称为有理数（小数可以化为分数，所以看为为分数）
2、有理数的分类：1）：按定义
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数
自然数正整数整数有理数0 2）：按正负分
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0
4、四非
正数和零统称为非负数;
负数和零统称为非正数;
正整数和零统称为非负整数（自然数）;
负整数和零统称为非正整数;
【技巧】读的时候，在非正、非负后面加一个“的”
知识点二 数轴
1、数轴的定义：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
2、数轴三要素
原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.
【注】单位长度：指所取度量单位的名称，是一条人为规定的代表"1"的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，不能再改变.
3、数轴画法
首先：画一条水平的直线；
其次：在直线上选取一点为原点；
再次：确定向右为正方向，用箭头表示出来；
最后：根据实际情况，选取适当的长度作为单位长度.
4、与有理数的关系
（1）有理数和无理数都可以用数轴上的点表示出来．
（2）正有理数表示的点位于原点的右边，负有理数表示的点位于原点的左边5、利用数轴比较大小
数轴可以用来比较大小，左<右﹔负数<0<正数.
知识点三相反数
1、定义
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
【注】①一般地，a和a
-互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.
②0的相反数是0
③“只有符号不同”应与“只要符号不同”区分开﹒
④相反数必须成对出现，不能单独存在．
2、几何意义
一对相反数表示的点在数轴上应分别位于原点两侧；到原点的距离相等；这两点是关于原点对称的．
3、求法
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可.
4、相反数的性质
（1）若a与b互为相反数，则0
=
a，则a与b互为相反数．
+b
=
+b
a;反之，若0
（2）任何一个数都有相反数，而且只有一个.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数; 0的相反数仍是0.
五、多重符号化简
一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉;
一个正数前面有偶数个“―”号，也可以把“―”号全部去掉;
一个正数前面有奇数个"―"号，则化简后只保留一个"―"号，即“奇负偶正”(其中“奇偶”是指正数前面的“―"号的个数的奇偶数，“负正"是指化简的最后结
果的符号）.
知识点四 绝对值
1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a （a 可以是正数、负数和0）
2、绝对值性质：
()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a
3、绝对值具有非负性
（1）若有几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
00,0===+b a b a 且则
（2）0≥a ，此时a 有最小值，值为0；0≤-a ，此时a -有最大值，值为0.
4、有理数的大小：
（1）负数<0<正数
（2）两个负数，绝对值大的反而小（绝对值为点到原点的距离）
（3）含字母，绝对值的大小比较：①、数形结合，用数轴来分析
②、赋值法，赋予字母符合题意的值来计算
5、绝对值的简单计算
去绝对值前，先确定绝对值内的正负：
若绝对值内为正，直接去绝对值符号.
若绝对值内为负，把绝对值符号变为括号再在前面添加“-”号
1.3 有理数加减法
知识点一 有理数的加法
1、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加为0.
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数加法运算律：加法交换律 a+b=b+a
加法结合律（a+b)+c=a+(b+c)
【注】①先定符号再定值
②同号相加—边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑
知识点二有理数的减法
1、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 a-b=a+(-b)
知识点三有理数的加减混合运算
1、有理数加减混合运算步骤：
①将减法统一成加法;
②按加法法则算出结果．
2、有理数加减运算技巧：
①互为相反数的两个数先相加——相反数结合法
②符号相同的两个数先相加——同号结合法
③分母相同的两个数先相加——同分母结合法
④几个数相加得到整数先相加——凑整法
⑤整数与整数，小数与小数，先相加——同形结合法
1.4有理数的乘除法
知识点一有理数的乘法
1、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，都得0.
2、积的符号的确定
几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有
偶数个时，积为正;当负因数有奇数个时，积为负.简称为“奇负偶正”.
3、有理数乘法运算律：乘法交换律 ab=ba
乘法结合律（ab)c=a(bc)
乘法分配律 a(b+c)=ab+ac
知识点二有理数的除法
1、倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
（0没有倒数）
2、有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
a÷b=a×1
b
3、步骤：先确定商的符号（同号得正，异号得负），再求商的绝对值，即把绝对值相除
【注】0除以任何不为0的数均为0.
知识点三有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算步骤︰
①将除法统一成乘法;②按乘法的法则算出结果﹒
1.5 有理数的乘方
知识点一乘方
定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
乘方：在n a中，a叫做底数，n叫做指数.
读法：n a可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂.
符号：①正数的任何次幂都是正数；
②0的任何正整数次幂都是0，任何非O数的0次幂都为1；
③负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数，即（看指数）奇负偶正．【注】任何数的偶次方都是非负的.
知识点二 科学记数法
1、定义：把一个大于10的数表示成n a 10⨯的形式()是正整数n a ,101<≤
2、10n 规律总结：102=100
103=1000
104=10000 ⟹ 10n ：1后面有n 个0
3、科学计数法中：指数n=原数的整数位-1 eg ：380000000（整数位共9位）=3.8×100000000=3.8×108
知识点三 近似数
1、精确数位
（1）对于精确到个位十分位等情况：①找到精确到哪一位；
②根据下一位数字四舍五入得到近似值
（2）对于较大数精确到较高位时：①找到精确位，根据后一位数字的取舍； ②用科学计数法表示出来
（3）判断精确数位：
①不用科学记数法表示的数：写到哪一位就精确到哪一位；
②科学记数法a ×10n 中：看a 的最后一位在原数中的位置
2、有效数字
有效数的概念：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字
知识点四 有理数的运算技巧
一、运算律
二、有理数加法运算技巧
有理数加法的运算技巧:“凑零凑整，同号集中，同分母结合，带分数拆开
(1)凑零凑整：互为相反数的两个数相结合;和为整数的加数相结合;
(2)同号集中：把符号相同的加数相结合﹔
(3)同分母结合：把分母相同或便于通分的加数相结合﹔
(4)带分数拆开：将带分数的整数部分和分数部分拆开，整数与分数分别相结合
三、其它技巧
（1）裂项相消︰有些数列比较特殊，通过裂项的方法可以起到求和的目的.
（2）连锁约分：多分数相乘，将分子、分母都化成乘积形式，观察约分. （3）错位相减：适用于一个算式中各部分之间是等比数列求和运算.
【注】带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。