《工程力学》第3次作业解答（空间力系）
2008－2009学年第2学期
一、填空题
1．求力在空间直角坐标轴上投影的两种常用方法是直接投影法和二次投影法。

2．已知力F 的大小及F 与空间直角坐标系三轴x 、y 、z 的夹角α、β、γ，求投影x F 、y F 、z F 的方法称为直接投影法。

3．将空间一力先在某平面上分解成互相垂直二力，然后将其中之一再分解成另一平面上的互垂二力而求得该力互垂三投影的方法称为二次投影法。

4．若一个不为零的力F 在x 、y 轴上的投影x F 、y F 分别等于零，则此力的大小等于 该力在z 轴上投影的绝对值，其方向一定与x 、y 轴组成的坐标平面相垂直。

5．参照平面力系分类定义，可将各力作用线汇交于一点的空间力系称为空间汇交力系；将各力作用线相互平行的空间力系称为空间平行力系；将作用线在空间任意分布的一群力称为空间任意力系。

6．重心是物体重力的作用点点，它与物体的大小、形状和质量分布有关；形心是由物体的形状和大小所确定的几何中心，它与物体的质量分布无关；质心是质点系的质量中心；对于均质物体，重心与形心重合，在重力场中，任何物体的重心与质心重合。

二、问答题
1．什么是物体的重心？什么是物体的形心？重心与形心有什么区别？ 解答：
物体的重心是指物体重力的作用点，即物体的大小、形状和物体构成一旦确定，则无论物体在空间的位置、摆放方位如何，物体的重力作用线始终通过一个确定不变的点，这个点就是物体的重心，显然重心除与物体的大小、形状有关，还与物体的物体分布情况有关，同样大小、形状的两个物体，如果一个是质量均匀分布的，一个质量是不均匀分布的，则这两个物体的重心位置可能会不同。

形心是由物体的大小和形状所确定的几何中心，它只与物体的大小和几何形状有关，与物体的质量分布无关。

重心只有在重力场中有意义，而形心在重力场和失重状态下都有意义。

在重力场中，质量均匀的物体，重心与形心重合；质量不均匀的物体，重心与形心不一定重合。

2．将物体沿着过重心的平面切开，两边是否等重？
解答：将物体沿着过重心的平面切开，两边不一定等重。

以质量均匀的正圆锥形物体为例(图a)：
（1）如果将圆锥体沿对称面切开（图b ），则两部分的体积相等，因此两部分重量相等；
（2）将圆锥体沿过重心且与底面平行的平面切开（图c ），上面的小圆锥体体积为：
2211339()34464
V r h r h ππ=⋅⋅⋅= 下面的圆台形体积为：
222211937364192
V V V r h r h r h πππ=-=⋅⋅⋅-= 显然21V V ≠，因此两部分重量不相等。

关于“……结论是否成立？”之类问题的回答：
这类问题的回答有三种情况：
（1）如果结论是肯定的，一般需要给出严格的证明；
（2）如果结论是否定的，也要给出证明；
（3）如果结论是不一定的，则需要举出成立和不成立的至少各一例来加以说明。

三、计算题
1． F 1、F 2、F 3、F 4各力在空间的位置如图所示。

已知F 1＝F 2＝F 3＝F 4＝10N ，求各力在三个坐标轴上的投影。

解答：
111100
10N
x y z F F F F ⎧=⎪=⎨⎪==⎩ 222210N 0
x y z F F F F ⎧==⎪=⎨⎪=⎩ 33333sin 305N cos30100.8668.66N 0
x y z F F F F F ⎧=-⨯︒=-⎪=⨯︒=⨯=⎨⎪=⎩
444444cos30sin 30100.8660.5 4.33N cos30cos30107.5N sin 30100.55N x y z F F F F F F =⨯︒⨯︒=⨯⨯=⎧⎪⎪=-⨯︒⨯︒=-=-⎨⎪=-⨯︒=-⨯=-⎪⎩
2．如图所示，支柱AB 下端为球形铰链，BC 、BD 为两绳索，F ＝7.2kN 。

不计支柱的自重，求柱及绳索受到的力。

解答：
（1）取B 铰为研究对象，画出其受力图如右图所示。

由图可知，立柱AB 、绳索BC 与BD 对B 铰的作用力及主动力F 共同组成空间汇交力系而平衡。

（2）按图中的坐标系列平衡方程
0x F
=∑，sin cos 0AB BD F F γϕ⋅⋅-= ① 0y F
=∑，sin sin 0AB BC F F γϕ⋅⋅-= ②
0z F =∑，cos 0AB F F γ⋅-= ③
由图中给定的尺寸可知：
sin 0.7083γ==
，cos 0.7059γ==
cos 0.6644ϕ==
，sin 0.7474ϕ== （3）求解未知量。

将上面各三角函数值代入平衡方程①、②、③并联立求解，得立柱AB 、绳索BC 与BD 受力为：
10.2kN AB F =， 5.4kN BC F =， 4.8kN BD F =
3．求如图所示平面图形的形心位置坐标。