示意图
E Z


E Z

E
Z


N(E)

lim
E 0

Z E

dZ dE
在k空间中：能量为E的k点分布在球面上

E E E
球面半径：k k＋ k
球壳中对
应
的k点
数
为
：
V
8
3

4k 2dk
对应的量子态数为：dZ

V
4
3
4k 2dk
能态密度球
2 f dE 2
E
6
kBT
2

N

I0 g( EF
)
I1 g( EF
)
I2 g(EF
)

g(EF
)
2
6
kBT 2
g( E F
)

N

2 3
C (EoF )3/ 2，
g( EF
)

2 3
C(EF
)3 / 2
EF

E Fo

1

2
12

kBT E Fo

EoF

2 2m
3n 2
2/3
N nV (n：电子浓度 1022 ~ 1023 / cm3)
E0
EdN

Ef (E )N (E )dE
E
o F
E
1 CE1/ 2dE
0
0
N
N
N

25C 23C
E
o F
E
o F
5/2 3/2

3 5
E
o F
上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0, 这不同于经典理论.
每个状态可容纳自旋方向相反的两个电子，如果费米球
的半径取kF0，则总电子数为
解出
N

2V
(2 )3

4 3
k
0 F
3
1
kF0 (3 2n)3
作业
1. 在金属中若f (E1 ) 0.9，f (E2 )＝0.1，则E1和E2相差
多少个kBT？
2.
设某金属在T

0
K时k
o F


9
长为2a。
最小的 k，对应波 长为L。
K越小，所对应波 长越长。
边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平 面简谐波存在。
5.2.3 能态密度
能态密度:单位能量间隔内的电子状态数量
E
2k 2 2m

h2 2m L2
n2x n2y nz2
电子能级是简并的

2mE 2
d 2mE
N (E ) dZ CE1/ 2 dE
矢量球
5.2.4 费米能与费米面*
(1) 费米－狄喇克分布
在热平衡状态下，能量为E的量子态被电子占据的
几率为：
1 f (E) eEEF / KBT 1
EF：费米能级（量），电子化学势。指体积不变的
情况下，系统中增加一个电子时自由能的增加

EF
2
f E
dE
I0 g(EF ) I1 g(EF ) I2 g(EF )
类似于函数，故可 扩展到-~+


I
0


I
1



I
2


f dE 1
E

E


EF

f E
dE

0

E EF
b3 N3
b2 N2
b1 电子具有的波长 N1 k L L L 2 nx ny nz
Na Na Na nx ny nz
说明
电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶
格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。
补充资料：三维晶格情况下的波矢
aN1、1、aN2、2、aN3 3
b1、b2、b3
N N1N2 N3
n
1.
k

h1 N1
b1

h2 N2
b2

h3 N3
b3,
h1、h2、h3 Z
平均一个k点占据的体积： 示意图

b1 N1

b2 N2

b3 N3
费米球
EF-kBT EF+kBT
费米半径：
kF
2mE F
T=0K时,E=EF0以下能级全被电子占据. T≠0K时,EF-kBT范围内电子被激发到 EF+kBT范围内.对金属热传导有重大影响.
例题
1 如果电子浓度为n，用自由电子模型，求零度(0K)时,k
空间中费米球的半径kF0。
V
解: 根据自由电子模型，K空间的状态密度为 2 3
故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面
波与晶面垂直。
可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩
-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系
晶格常数为a
的简立方
a
晶格常数b为2π/a
的倒易格点。
b对应面间距。
最大的 k，对应波
b V

b1 b2 a1 b 3(a2

2 a2 a3
2 a3V a1
2
a1
V
a2

a3
)
V 原胞体积
CE 3/ 2
f E
dE
令g(E) 2 CE 3/2，则N


f
g(E)
dE
示意图
3
0
E
将g(E)在E EF附近作泰勒级数展开，则有：
N



g(
E
F
)
f E
dE


g( EF ) E

E
F

f E
dE

1 2
g( E F
)E
经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,
平均动能为0.
量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使 在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态. 计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达 108cm/s.
平面波
b. T0K时：
Nf
(x

)0 f
(fE()xN0
)(
E
)dfE(

x00)(
fx(E
)x0C)E1/221d!Ef
(
0x 032)(Cxf
(Ex)d0E)23/ 2




2 3
Cf(
E1 ) n!
Ef
3n/
(2

x00
)(
2
x0 3
xC0E)n3
/
2 Ef
dE


0
2 3


1 N
*

1 N

2 3


2 3
V
k的分布密度（单位体积中k点的数目）：21 3

V
2 3
V k被限制在第一布里渊区
k

2
nx
I

2
ny
J

2
nz
K
L
L
L
L Na1 L Na2 L Na3
k空间 波矢空间 倒易点阵
量。
a. T 0K时：
E E

EFo
E
o F
示意图
f (E) 0 f (E) 1
T 0K时，EFo是电子 占据的最高能级
b. T 0K时：
若金属中存在一个同EF大小相等
1 的能级，则该能级对应的量子态
E EF
f (E)
2 被电子占据和不占据的几率相等
f
(E)

kz
E为等能面(红色线)
ky
E E+dE
kx
k k+dk
半径为k的球体中,电子的状态数:
Z
(k)

2
V
8 3

4 k3
3

V
3 2
(
2me 2
3
E)2
dZ

V
4
3
4k 2dk

4V

2m h2
3/2

E1/ 2dE
E

2k 2 2m

k 2 dk
1 eEEF / KBT
1
返回
T=0K
T3
(2) 费米能量EF的计算
设金属中有N个电子，则N

f (E)N(E)dE
0
a. T 0K时：
N
EoF 1 CE1/2dE
0

2C 3
EoF
3/2
1.5～7eV
C