函数的单调性与最值复习:按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像、图像在y 轴的右侧部分就是上升的,当在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有1y <2y 、这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是增函数、图像在y 轴的左侧部分就是下降的,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有12y y <。

这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是减函数、1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上就是增函数或减函数,那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性;(3)函数的单调性就是对某个区间而言的,它就是一个局部概念。

(4)若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都就是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上就是增(减)函数、 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上就是减函数,在区间(0,)+∞上也就是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上就是减函数、(3)用定义法判断函数的单调性:①定义域取值;任取x 1,x 2∈D,且x 1<x 2; ②作差;作差f (x 1)－f (x 2);③变形;通常就是因式分解与配方; ④定符号;即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论.指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上就是减函数、证明:设1x ,2x 就是(0,+∞)上的任意两个实数,且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞),得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于就是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上就是减函数、练习:讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性、在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外,恒有0112221>+++x x ∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1,0]上f (x )为增函数2、基本函数的单调性例:讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性、解:∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=,对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是增函数;若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内就是减函数,在[a,2]内就是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是减函数、3、判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1,x 2∈[a ,b ],且x 1＜x 2,那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.②设任意x 1,x 2∈[a ,b ],那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.例:求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间、4、 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是增函数, ()h x 在区间[],c d 上就是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d 上一定就是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是减函数, ()h x 在区间[],c d 上就是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a bc d 上一定就是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例:已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1,x 2,都有()()21210f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围就是( )A.(0,14] B.(0,1) C.[14,1) D.(0,3)5.函数的最值例:f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________;f(x)max ＝________、6、利用函数的单调性求最值例题:已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),且当x ＞0时,f (x )＜0,f (1)＝－23、(1)求证:f (x )在R 上就是减函数; (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值.(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-、1212,0.x x x x >∴->又0x >时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数、 (2)函数()f x 就是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也就是减函数、从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小、2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-(3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2、练习:已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y )、,且当x ＞1时,f(x)＜0、 (1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2、(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。

(2)当0 < y < x 时,x/y > 1,所以f(x) - f(y) = f(x/y) < 0 。

故f 单调减。

(3)f(3) = -1,f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3),f(9) = -2而 f(｜x ｜)＜-2 = f(9),且f(x)单调减,所以| x | > 9, x ＞9或x ＜-97、导数与函数的单调性(1)导数的几何意义:函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率就是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-(2)函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数;如果在这个区间内/y <0,那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

(3)几种常见函数的导数①'C 0=;②1')(-=n n nxx ;③xx e e =')(;④xx 1)(ln '=(4)导数的运算法则①'''()u v u v ±=±、 ②'''()uv u v uv =+、 ③'''2()(0)u u v uv v v v -=≠、8、 求可导函数的单调区间的一般步骤与方法:①确定函数()f x 的定义域; ②计算导数'()f x ,③令'()0f x >,解此不等式,求出递增区间; 令'()f x <0,解此不等式,求出递增区间;例:函数32()31f x x x =-+就是减函数的区间为( ) (Ａ)(2,)+∞ (Ｂ)(,2)-∞ (Ｃ)(,0)-∞ (Ｄ)(0,2) 答案:D解析:22'36,360,0 2.y x x x x x =--<<<令解得练习:(1)函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间就是__________、答案:]1,0(解析:首先考虑定义域0)1(222)(),,0(2≥-=-='∞+xx x x x f 由及0>x 知10≤<x ,(2)求函数()(0)bf x x b x=+>的单调区间,并绘出图像。

解: 函数定义域为).)((11)(,022b x b x xx b x f x +-=-='≠令0)(>'x f ,得b x >或b x -<.∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞与),(+∞b ; 令0)(<'x f ,得b x b <<-且0≠x ,∴函数)(x f 的单调递减区间就是)0,(b -与),0(b .基础练习:1、 在区间)0,(-∞上为增函数的就是( ) A.1=yB.21+-=xxyC.122---=x x yD.21x y +=答案:B 提示:A 为常函数, C 在(,1)-∞-上就是增函数,在(1,0)-上就是减函数,而D 在区间)0,(-∞上为减函数、2、 在区间(0,＋∞)上不就是增函数的函数就是 ( )A.y =2x ＋1B.y =3x 2＋1C.y =x2D.y =2x 2＋x ＋1答案:C3、 函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2,＋∞］上就是增函数,在区间(－∞,－2)上就是减函数,则f (1)等于 ( )A.－7B.1C.17D.25答案:D4、 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上就是增函数,则a 的范围就是( ) A. 2a ≤- B.2a ≥- C.6-≥a D.6-≤a 答案:B 提示:对称轴2,24,2x a a a =--≤≥-、5、函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次就是( )A.]1,(],0,(-∞-∞ B.),1[],0,(+∞-∞C.]1,(),,0[-∞+∞D 、 ),1[),,0[+∞+∞答案:D 6、 函数)(x f 在),(b a 与),(d c 都就是增函数,若),(),,(21d c x b a x ∈∈,且21x x <那么( ) A.)()(21x f x f < B.)()(21x f x f > C.)()(21x f x f = D.无法确定答案:D7、 函数f (x )在区间(－2,3)上就是增函数,则y =f (x ＋5)的递增区间就是 ( )A.(3,8)B.(－7,－2)C.(－2,3)D.(0,5)答案:B8、 已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )＜0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 答案:A9、 已知函数()(0)(3)1(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨++-≥⎩＝若对任意x 1,x 2,都有()()21210f x f x x x ->-成立,则实数a 的取值范围就是( )A.(1,)+∞B.(3,)-+∞C.[2,)+∞D.(1,2)答案:C10、设x 1,x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题:①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0; ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0; ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0;④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0、其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________、(填序号)11、函数y =的递减区间就是答案:(-∞,-3) 提示:借助复合函数的单调性加以判断、12、已知函数y ＝f (x )在R 上就是减函数,A (0,－2)、B (－3,2)在其图象上,则不等式－2<f (x )<2的解集为______________________、综合练习:1、已知函数f (x )就是R 上的增函数,A(0,－1)、B(3,1)就是其图像上的两点,那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集就是 ( ) A.(－1,2) B.(1,4) C.(－∞,－1)∪[4,＋∞) D.(－∞,－1)∪[2,＋∞)2、 已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围就是 ( ) A 、(－1,1)B 、(0,1)C 、(－1,0)∪(0,1)D 、(－∞,－1)∪(1,＋∞)3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4xx ≥04x －x 2x <0、若f (2－a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围就是( )A.(－∞,－1)∪(2,＋∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞,－2)∪(1,＋∞)解析:f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4x <0由f (x )的图象可知f (x )在(－∞,＋∞)上就是单调递增函数,由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ,即a 2＋a －2<0,解得－2<a <1、故选C 、4、已知)(x f 在实数集上就是减函数,若0≤+b a ,则下列正确的就是( ) A.)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B. )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C.)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D.)()()()(b f a f b f a f -+-≥+答案:D 提示:0,,a b a b b a +≤∴≤-≤-且)(x f 在实数集上就是减函数,从而知()(),()()f a f b f b f a ≥-≥-,从而选D 、5、 f (x )就是定义在(0,+∞)上的增函数,且f (yx)＝f (x )－f (y )、 (1)求f (1)的值;(2)若f (2)＝1,解不等式f (x +3)－f (x1)＜2、 【解】(1)令0y x =≠,从而得f (1)=()()0f x f x -=;(2)∵4(2)()(4)(2)2f f f f ==-,(4)2(2)2f f ∴==.因为f (x )就是定义在(0,+∞)上的增函数,所以原不等式f(x+3)－(x 1)＜f(4)⇔23010(3)(4)x x f x x f +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩ ⇔2301034x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩解得41x -<<.从而原不等式的解集为(4,1).-6、 函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时,f(x)＞1、 (1)求证:f(x)就是R 上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3、函数的单调性与求函数的最值(1)设x1,x2∈R ,且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1、 f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0、∴f(x2)＞f(x1)、即f(x)就是R 上的增函数、(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴原不等式可化为f(232m m --)＜f(2), ∵f(x)就是R 上的增函数,∴232m m --＜2, 解:4m 3-1＜＜ 、。