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图1
图2
图3
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由彼此相连接的顶点和边组成的部分图形(子图), 称为图的一条“链”或“路”。如果一条路首尾相连, 则称为回路,或环。
一个图,如果每两个顶点都有且只有一条边相连, 则称之为“完全图”。如果图G的一条链,包含了G的 所有顶点和边,则称之为“欧拉链”；特别地,如果一 条回路包含G的所有顶点和边,则称之为“欧拉回路”。 于是,七桥问题就变成:图2是否为一个欧拉链?又,它是 否为一个欧拉回路?为此,需要关于顶点的几个概念。
二、文化 科学文化 人文文化
科学文化形态（“事实在先”）： 知识：主要是一元的； （有多元） 思维：主要是逻辑的； （有直觉） 方法：主要是实证的； （有感悟） 原则：主要是求真的； （有求善） 人文文化形态（“价值在先”）： 知识：不一定是一元的；（有一元） 思维：不一定是逻辑的；（有逻辑） 方法：不一定是实证的；（有实证） 原则：不一定是求真的；（有求真）
一个顶点所聚集的边的数目,称为该顶点的“度”。 顶点的度是奇数,称为“奇顶点”；顶点的度是偶数, 称为“偶顶点”。
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定理l(欧拉回路判定准则)一个连通图(图中任何两个 顶点都能够用一条链来连接)是欧拉回路的充要条件是它 的奇顶点的个数是0或2。 由此可以得到图是否可以一笔画的判定准则,也写成定理 形式:
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二、文化 科学文化 人文文化
形而下： 文化 源于实践， 生于人脑， 产于人脑对实践的反映及其对反映 的加工 。 文化 来自客观世界与精神世界的相互作 用及其统一。 各类文化必彼此相通： 既反映客观世界的真实性、唯一性， 又反映精神世界的感悟性、多样性。
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定理2(一笔画判定准则) 如果一个图上的奇顶点的个数 是0或2,该图就可以一笔画,否则不能一笔画。特别地,若奇 顶点的个数为0,即图上没有奇顶点,则该图不仅可以一笔画, 而且起点还能与终点重合。
据此、对于上述七桥问题很容易得出结论:因为图7上 的4个点都是奇顶点,所以它不是欧拉回路,也不是欧拉链, 所以它不能一笔画。从而知道哥尼斯堡七桥问题的答案是 否定的。
唯实论(柏拉图)，数学是发现； 唯名论(亚里士多德)，数学是发明。 抽象了的东西是存在的：抽象的存在（形而上、形而下）。
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数学抽象
抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。 得到：数学研究的对象概念和对象之间的关系概念；
运算方法和运算之间的运算法则。 亚里士多德：
数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中 那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的 量的定义，不是作为存在而是作为关系。 存在性假设\多边形→三角形\
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这就是数学中的抽象过程，陆地再大再广，在所研究 的问题中作用并不大，它们与一个点的作用相当。桥也不 管长短曲直与宽阔，完全可以用一条曲线代替。抽象的结 果，走路的问题变成了一笔画的问题。
数学抽象方面的特点:第一,在抽象中只保留量的关系 和空间形式而舍弃了其他一切。第二,数学的抽象是经过 一系列阶段而产生的；抽象程度大大超过了自然科学中一 般的抽象。数学中许多概念是在抽象概念之上的抽象。第 三，数学抽象的特殊性在于“数学对象是借助于明确的定 义建构的”；“在严格的数学研究中，我们都只能依据相 应的定义和推理规则进行，而不能求助于直观”。而且， 在经常的“数学研究中我们就是依抽象思维的产物作为直 接的研究对象”。
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一、社会 文化 教育
教育就是文化教育，即以文化育人，
即以“文”化人，以“文”育人。
化人、育人就是提高人的素质。
文化实质上是“人”化。
“化民成俗，其必由学。”
教育实质上是素质教育。
文化内涵：
知识：载体、基础。无知识，就无文化。
思维：关键。“人为万物之灵”，无思维，即僵死。
引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。
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数学抽象
数量的第二步抽象 变量、极限运算 \如何理解、如何解释\
导数：牛顿(1676\1666)提出，最初的解释是利用无穷小。
问题：什么样的函数可导？
→ 明确函数定义 + 明确极限定义 → 符号表达
1755年，欧拉的变量说，初中。\抽象不够\ 问题
提起数学的抽象性，每个人都有深刻的体会。例 如，数字“3”,不是“3个人”、“3个苹果”等具体物 件的数量,而是完全脱离了这些具体事物的抽象的 “数”。数学中研究的形——三角形、四边形等,也不 是三角板、长方形纸片或足球场等具体形状,而是与这 些具体事物完全无关的、抽象的“儿何图形”。数学 中的等式
方法：根本。桥、船。要实践，就要方法。
原则：精髓。融入并指导上三者。
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一、社会 文化 教育
知识、思维、方法、原则是文化形态； 精神上四者交融而升华，是文化灵魂。 《师说》：传道，授业，解惑。 授业：传授知识，是基础。 解惑：启迪思维，展示方法，是关键。 传道：明确原则，升华精神，是根本。 钱学森： “教育工作的最终机理在于思维过程。”
内容
一、社会 文化 教育 二、文化 科学文化 人文文化 三、数学文化 四、数学文化教育
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一、社会 文化 教育
文化是人类社会的“基因”。
人类社会靠文化的传承而延续，
靠文化的创新而进步。
教育是文化传承的主要渠道，
是文化创新的必要基础。
人类社会靠教育而ห้องสมุดไป่ตู้续，
靠教育而发展。
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数学抽象
清晰定义实数 → 清晰定义无理数 → 重新定义 有理数
有理数：分数形式 → 小数形式（有限+无限循环) 无理数：无限不循环小数\如何判断(百,千)\
实数 ≡ 有理数 + 无理数 如何计算： √2·√3 =√2·3 ？用小数验证？
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三、数学文化
特点：实践。 身体（物质世界）的实践 （方法）。 思想（精神世界）的实践 （思维）。 基于实践，自我升华、超越、开拓、创新等； （群论、非欧几何、超越数论、四元数学等）
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三、数学文化
形态：
科学文化
知识： 一元性
思维：过程的系统的
逻辑推理
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数学抽象
数量的第一步抽象 数量 → 数。 2匹马、2头牛 → 2。 数量的本质多与少 → 数的本质大与小 → 刻画大小的序关系 → 自然数、加法
有理数 ≡ 分数：部分与整体；线段长度之比 加法 → 四则运算；逆运算 → 数域的扩充 自然数 → 整数、有理数、实数 如何定义实数？运算？连续性？ 抽象是如何存在的：
数学文化
数学美的根源 自然本质，万物共性
2020/4/13
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课程简介
数学文化主要包含的内容有：对数学的认识、 数学的思想与方法、数学文化史、数学文化的价值、 数学史上著名事件的意义分析、著名数学家及其影 响；等。重点在数学的思想与方法及数学的文化价 值。
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f1(x) = shi2x + cos2x 和 f2(x) = 1 表达是一个函数，还是两个函数？
1851年，黎曼的对应说，高中。\新概念和物理背景\
函数 → 对应 → 集合
集合：所要研究对象的全体？ \罗素悖论\
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数学抽象
极限运算 1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。
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例1 七桥问题和图论的简单知识 18世纪时,帕瑞格河从哥尼斯堡(现属于俄罗斯)城
中流过,河中有两个岛,把该城分为四个部分,河上7座桥, 将两岸和岛连接,如图1所示。城里的人从桥上走来走 去,有人便提出这样一个疑问:一个人能否依次走过所 有的桥,而每座桥只走一次?如果可以的活,这个人能否 还回到原来出发地?这就是有名的“七桥问题”。许 多人都在试验，每天都有许多人在想法“不重复地走 遍”所有这七座桥。但是，没有人能够完成这一“壮 举”。这个问题有答案么？
我国古代数学成就
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四、数学文化教育
数学精神：
求真： 极其严格的逻辑，
及其执著的追求；
完美： 魅力
诱人的猜想 神奇的预言
美妙的和谐 惊人的简洁
创新： 不断的自我超越；
不断的开拓新域。
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四、数学文化教育
文理交融 《教育规划纲要》：“促进文理交融”。 对文：以“理”助“文”，以“文”显“理”，使“文”更深刻，
更丰富。 对理：以“文”助“理”，以“理”显“文”，使“理”更深刻，
更丰富。 创造新学科：如“心理学”。
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文理交融，全面发展，
会当凌绝顶， 一览众山小！
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第一讲：序——数学与数学文化
1.数学的特点 数学最显著的特点,就是它的抽象性、精确性与
逻辑演绎性、应用的广泛性以及教育的深刻性。 （1）数学的抽象性。
逻辑只有拒绝此等形式的权利。
狄拉克： 一个方程式美不美比符不符合实验
更重要。
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四、数学文化教育
奥巴马：在未来10年中，提高科学、技术、工 程学与数学的教学水平，是国家当务之急。 数学是文化，是人类文明的重要基础。 数学是科学，是哲理思维，蕴含着深刻、生动 而丰富的人文文化。 数学文化教育即数学文化育人，既提高数学素 质、科学素质，又提高思维品质，人文素质。
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二、文化 科学文化 人文文化
形而上： 精神： 反思，怀疑， 质疑，批判，发展。 追求： 更深刻，更普适，更永恒； 求真，务善，完美，创新。 科学精神：侧重 求真务实； 人文精神：侧重 求善务爱。 共同之点：完美，创新。