• 中国人崇拜“9”：故宫大门纵横九颗铜星，皇帝 九龙袍，九龙壁，“九九归一，侄极而返”
• “60”是古巴比伦人与毕达哥拉斯心中的神 • 数的文化：奇为女，偶为男，“一帆风顺，双喜
临门，三阳开泰，四通八达，五彩缤纷，六根清 洁，八面玲珑，九霄云外，十全十美”“一波三 折，两败俱伤，三长两短，四面楚歌，五内俱焚， 六神无主，七上八下，九死一生，十恶不赦”
费尔玛猜想
• 丢番图（古希腊公元246～330）名著 《算术》，代数学之母
• 《算术》是费尔玛的枕边之物 • 猜想： n2当 时,xnynzn没有正整数
• 从17世纪到20世纪，历时300多年，直到 1994，41岁得英国数学家怀尔斯解决
高斯 与数论 (德国数学家，1777～1855)
• 现代数论统一理论的创建者 • 20岁决定献身数学，最终成为最伟大的
刺瞎后的牧羊生活 • 罗素（英国数学家，1872~1970)说“不
知要经过多少年，人类才发现一对锦鸡 和两天同含一个数字二。”抽象对于古 人实在是太难了
记数法
• 艰难的过程 • 限制中国数学深入的瓶颈 • 印度阿拉伯数字
中国数学记数法：
进位制：
• 史上曾经有过二进制，五进制，十进制， 十二进制，十六进制，六十进制。
• 1900年希尔伯特（德国数学家，1862～1943）把 它列为23个世纪难题，称为“皇冠上的明珠”
• 1966年中国人陈景润（1933～2019）证明“1＋ 2” ，1973年发表，离摘取明珠咫尺之遥
• 陈氏定理被誉为“光辉顶点”
方程的历史
• 方程的产生：在中国，在日本，在印度 • 花拉子模（阿拉伯人，公元780～850）第一次给
• 汉字一二三四五六七八九十对十进制的贡 献
• 长期运用后留下二进制十进制 • 据推测五进制十进制与人的手指个数有关
现代澳大利亚托列斯峡群岛上一
些部落仍用二进制：
一=乌拉勃，二=阿柯扎 他们把三表为：阿柯扎乌拉勃 那么：阿柯扎阿柯扎＝？ 阿柯扎阿柯扎乌拉勃＝? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?
“0”不是印度人或阿拉伯人的发明
• 古希腊沿另外一个方向来到它的面前却 有意躲避
中国与无理数
• 《九章算术》第四章说“若开之不尽者，为不 可开，当以面命之”
• 我们不知“当以面命之”所云为何，但可以确 定，那时中国人一来到这个路标下了。
• 刘徽在计算平方根的近似值时离无限不循环已 近在咫尺，但他说“不足言之”竟然放弃了。
• “重算法轻算理”是中国古代的风气使中国与 无理数失之交臂，令人惋惜。
数学史简介
献给07级新生
关于成都
成都是府 成都是天府 天府的人最安逸
府:皇帝储藏文书或 者财物的地方，肯 定是个好地方。
欢迎同学们来到天府之国
• 冬无严寒,夏无酷暑 • 年平均气温摄氏17度,平均降雨量980毫
升
• 一马平川,良田万顷,草木常青,渠水长 流，物产丰富,生活便利,中国唯一
• 都江堰是世界水利的奇迹并且风光如画
有重大理论问题出现。2有现实问题急需解决。 3出现伟大人物。 • 代数与几何都有非常辉煌的时光。 • 代数必讲数论及方程，几何必讲欧几里德德 《原本》。 • 几何狂飚：突破欧几里德几何，非欧几何。
数论与方程：第二次抽象
• 数的崇拜与禁忌：“1生2，2生3，3生万物”所以 1最神圣，7，8为吉祥数。4，13为一些民族的禁 忌
古希腊与无理数
• 学派众多，最有名的是毕达哥拉斯学派 （元前580~元前500）柏拉图学派（元前 430－－元前349）
• 毕达哥拉斯学派是兼有政治，宗教，哲 学的团体，“万物皆数”（读三声）为 其哲学基础和理论出发点。
• 毕氏提出了著名的毕达哥拉斯定理。
伟大的毕达哥拉斯
• 毕达哥拉斯：古希腊数学家，公元前580 至公元前497，青年的他游历许多地方， 并到埃及印度留学。他深入民间收集点 点滴滴的数学知识，最后学有所成并形 成一个学派，史称毕达哥拉斯学派，对 数学，天文学有巨大贡献。毕达哥拉斯 学派认为任何数都可以表达成二个整数 的商，即任意数都是可以度量的。
21.4142,1 56 18 0 3辉灿烂的文明 • 影响较大的：金字塔，纸草书，古文字 • 尼罗河贯穿全景 • 治理尼罗河河水泛滥，他们研究天文发现：河
水上涨与清晨天狼星升起的日子一样，间隔 365天，确立现代公历的基础 • 重新测定河岸的土地，几何特别发达 • 没有上升为理论，直到公元前4世纪后，希腊 人入侵为止
大约公元前５世纪，不可通约量的发现 －－－－ 毕达哥拉斯悖论
• 毕氏的学生、学者希帕索斯发现直角三角形直 角边都取1，则斜边就不可度量，与毕氏理论 产生矛盾
• 毕氏也发现不可通约量的存在 • 学派进入两难境地，学派内部所有成员立誓保
密，因而无理数有个诨号“不可说”（Alogon) • 希帕索斯说了，学派就此开始瓦解。 • 学派解决矛盾的方法是把希帕索斯抛进大海。
其他发达古国
• 希腊从公元前6世纪至公元4世纪，达1000年 • 阿拉伯数学发达仅限于8至13世纪，有500年 • 欧洲国家数学发达是在10世纪以后的事 • 日本则迟至17世纪以后。
无理数的出现 与第一次数学危机
• 无理数就像岔路口的路标，沿不同方向 均可发现它的存在。
• 中国沿一个方向来到它的面前竟然视而 不见
杜甫《春夜喜雨》曰:
好雨知时节，当春乃发生。 随风潜入夜，润物细无声。 野径云俱黑，江船火独明。 晓看红湿处，花重锦官城。
数学是什么？
如果：你想当经济学家，药学家，化学家， 数 学是统计分析工具
你想当物理学家，数学是微积分
你想当计算机专家，数学是算法语言
你想当建筑学家，数学是几何三视图
你想当数学家，数学就是你的世界
数论与方程：第二次抽象
• 整除理论：最古老的问题，中国剩余定理 • 地道的业余数学家费尔玛：从地方官员到数学家，
30岁学习数学，既是解析几何的发明者（与笛卡 儿同享）又是概率论的开创者（与帕斯卡同享）， 不同寻常的经历，不可思议，令人感慨万千 • 费马玛（法国数学家，1601-1665)与数论：看起 来简单，作起来难之又难，是数论的魅力所在， 使人“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，始 作俑者费尔玛。 • 现代数论的先驱＆创始人
希帕索斯的发现引发了第一次数学危机。
无理数： 古代数学家前进的方向
• 欧道克斯（希腊，元前408～前355）数 与量的分离：连续与离散。
• 存在与否困扰科学家哲学家 • 在迷雾中度过漫长而黑暗的中世纪，迎
来“文艺复兴”的繁荣时期（公元 1400～1600）无理数终于被人们慢慢接 受 • 疑惑仍然存在“即乐意又心存疑虑” • 直到19世纪实数理论的建立才完全消除
• 西南背靠青藏高原 • 北临秦岭,与暑寒无缘 • 东可出海，交通便利 • 海陆空皆通，蜀道不再难
• 吃在广州，吃得稀奇古怪。 • 穿在苏州，无非丝绸之类。 • 玩在杭州，西湖太小。 • 死在柳州，木头好不易腐烂。
•吃穿玩死都可以在成都，啥都有！ •成都好就业，是西南物质集散地， 商家拼搏的主战场。 •成都好安家，姑娘漂亮，小伙勤快。 •成都好旅游，四面风光如画。 •成都好生活，物美价廉，物产丰富。
自然数与整数的诞生
分数与小数的诞生
小数点的诞生是后来很久以后的事了，公元635年， 3.1415927记成三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽公元 1593年由德国克拉维斯给出，现代记法诞生。
负数的诞生：中国西汉出现 （元前200年），用赤筹表示。 欧洲15才世纪出现
四大文明古国：中国
• 公元前二十七世纪黄帝时代就开始了数 学研究
• “0”太重要了，一无所有为零 • 零是自然数 • 据考证“0”首次出现在柬埔寨＆苏门答
腊的碑文上 • 进位制是人类共同财产
位值制：
• 11236635中的3代表多少？ • 拉普拉斯（法国数学家，1749～1827）
说
“用十个记号来表示一切数，每个数不但有绝对的 值，而且还有位置的值，这种出自印度的巧妙方法，是一个深远 而重要的思想。今天看来是如此简单，以至于我们忽视了它的真 正伟绩，但恰恰是它的简单性对一切计算都提供了极大的方便， 才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位。而当我们想到它 竟然逃过了古代最伟大的阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关 注时，我们更感到这成就的伟大。”
• 数学发达至少有4000年 • 成就：分数、正负数、勾股定理、圆周
率、剩余定理、杨辉三角等等 • 由于中国文字的限制，数学理论的表叙
以及推导都极为困难，导致数学理论在 中国发展受到制约 • 中国长期重文轻理导致数学以及科学的 落后 • 政治原因，农业大国
四大文明古国：印度
• 印度有3500至4000年 • 最大成就是印度数码，十进制 • 五世纪后“零”的符号在印度出现 • 与占星术，宗教，农业关系密切 • 方法与结果用树皮树叶记载，大多失散 • 用晦涩的诗歌表述，难于理解 • 知道勾股定理，三角学并计算出
谁推开了虚数的“大门”
• 12世纪，印度数学家婆什伽罗说：“正数的平 方是正数，负数的平方是正数 ，因此一个正 数的平方根是两个，一个正数，一个负数。负 数没有平方根”。
• 他太肯定了！“负数没有平方根”遏制了后人 的探索欲望。400年来，数学家都采取了回避
态度。
• 1545年卡丹的 2229 （后面专门谈他）
数学家之一 • 1801年结束费尔玛数论，开创纯理论数
论研究 • 追随者：戴德金，狄利克雷，刘维尔，
闵可夫斯基，创建：代数数论，解析数 论，超越数论，几何数论
哥德巴赫猜想与陈景润
• 1742年，德国哥德巴赫老师发现“大于2的偶数， 可以表示为两个素数之和”
• 求教欧拉：欧拉说“虽然我不能证明它，但我确 信它完全正确”
出未知量，但他称其为“硬币”“东西”“根” • 代数“Algebra”源于花氏的书中“还原”一词 • 古希腊的不定方程，丢番图，费尔玛与不定方程 • 印度的不定方程，追求全部整数解，他们的 阿