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九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

华师大版九年级上册数学知识点总结第 21 章 二次根式1. 二次根式的概念:形如 的式子叫做二次根式.2. 二次根式的性质:(a 0)(1) ( a ) 2 (a ≥0 );( 2) a 0(a ≥0);(3) a 2(a 0)(a 0)3. 二次根式的乘除:乘法运算: a b (a 0,b 0) 计算公式: 除法运算: 4. 概念:1.最简二次根式: (1) (2)2.同类二次根式:5. 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 )(1) 将每个二次根式化为最简二次根式; (2) 找出其中的同类二次根式; (3) 合并同类二次根式.6. 二次根式化简求值步骤: (1) “一分”:分解因数(因式)、平方数(式); (2)“二移”:根据算 术平方根的概念,把根号内的平方数或者平方式移到根号外面; (3)“三化”:化去被开方数中的 分母. 7. 二次根式的混合运算:(1) 二次根式的混合运算顺序与实数运算类似, 先算乘方, 再算乘除,最后算加减,有括号先算 括号里面的. (2) 对于二次根式混合运算,原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用. (3) 在二次根式混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途 径,往往能事半功倍.第 22 章 一元二次方程1. 一元二次方程:1) 一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程.2) 一元二次方程的一般形式: ax 2bx c 0(a 0) . 它的特征:等式左边 是一个关于未知数 x 的二次多项式,等式右边是零.ax 2 叫做二次项, a 叫做二次项系数; bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数; c 叫做常数项.2. 一元二次方程的解法:1) 直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法. 直接开平方法适用于解形如 (x a)2b 的一元二次方程.根据平方根的定义可知, x a 是 b 的平方根,当 b 0时, x a b , x a b ,当 b<0 时,方程没有实数根.2) 配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2,把公式中的 a 看a (a 0,b 0)(3)做未知数x,并用x 代替,则有x2 2bx b2 (x b)2.配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上 1 次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式.3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法.一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式:x b b 4ac (b 2 4ac 0)2a4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法.分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式.3.一元二次方程根的判别式:一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 中,b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的根的判别式,通常用“ ”来表示,即b2 4ac .1)当△>0 时,一元二次方程有 2 个不相等的实数根;2)当△=0 时,一元二次方程有 2 个相同的实数根;3)当△<0 时,一元二次方程没有实数根.4.韦达定理:如果方程ax2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是x 1,x2,那么x 1 x2b,x1 x 2c.也就是说,a a 对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.5.一元二次方程的二次函数的关系:其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当y=0 的时候就构成了一元二次方程了.那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X 轴的交点,也就是该方程的解了.第 23 章图形的相似1.比例线段的有关概念在比例式 a c ( a:b c:d )中,a、d叫外项,b、c叫内项,a、c叫前项,b、d 叫后项,d 叫第四比例 b d项,如果b= c,那么 b 叫做a、d 的比例中项.2.比例性质①基本性质: a c ad bcb d②更比性质(交换比例的内项或外项):a b ( 交换内项)c dd c ( 交换外项)a cb ab d d b (同时交换内外项)c ab d (同时交换比的前项和后项)a c②合比性 a c a ±b c ±db d b d③等比性质:a c ⋯m (b d ⋯ a c ⋯n≠0)m a b d n b d ⋯n b3.黄金分割AC BC 在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC BC,即AC2=AB×BC,AB AC 那么称线段AB 被点 C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.其中AC 5 1AB ≈ 0.618AB .24.平行线分线段成比例定理5.6.7.①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:ABDE AB DE BC EFl1∥ l2∥ l3.则,,,⋯1 2 3 BC EF AC DF AC DF ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得线段成比例.③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.相似三角形的判定①两角对应相等,两个三角形相似;②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;③三边对应成比例,两三角形相似.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例;②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;③相似三角形周长的比等于相似比;面积的比等于相似比的平方.六种相似基本模型:对应CAC∥BD的对CX 型∠ B ∠CCAD 是Rt△ABC 斜边上8. 射影定理 由 ,得 ,即由 ,得 ,即 由 ,得 ,即 9. 中位线1) 三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段. 三 角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的线段的长是对应 中线长的 2.32) 梯形的中位线:连结梯形两腰中点的线段. 梯形的中位线平行于两底边,并且等于两底边和的一半. 10 . 位似①如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个 图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.第 24 章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余. 可表示如下: ∠C= 90° ∠A+ ∠B= 90 °2. 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. A 30 1BCD ABC 90 23. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.ACB 90 1CD AB BD ADD 为 AB 的中点 24. 勾股定理 直角三角形两直角边 a ,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即 a 2 3 b 2 c 2. 5. 摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是 它们在斜2 有一个角是直角的三角形是直角三角形.3 勾股定理的逆定理边上的摄影和斜边的比例中项.ACB 90 2CD AD ?BD2CD ABAC AD ?AB BC 2 BD ?AB6. 常用关系式由三角形面积公式可得:C考点二、直角三角形的锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 ∠ A 的锐角三角函数. 3. 各锐角三角函数之间的关系(1)互余关系: sinA= cos (90 °—A ),cosA=sin(90 °—A ) tanA=cot (90 °—A ),cotA=tan(90 °—A )(2)平方关系: sin 2 A cos 2A 1 (3)倒数关系: tanA ?cotA=1(4)弦切关系: tanA=sin A;cot A=cos Acos Asin A4. 锐角三角函数的增减性:当角度在 0°~ 90 °之间变化时,(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 5. 一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30 45 60 90°sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 21 2 0tan α3 3 1 3 不存在cot α 不存在313 3考点四、解直角三角形 1. 解直角三角形的概念:如果三角形的三边长 a ,b ,c 有关系 a 2 b 2形. 考点三、锐角三角函数的概念 1. 如图,在 △ABC 中, ∠C= 90°①锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的对边 记为 sinA ,即 sin A 那么这个三角形是直角三角 斜边 ②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的邻边 b斜边 ③锐角 A 的对边与邻边的比叫做 ④锐角 A 的邻边与对边的比叫做 2. 锐角三角函数的概念 c∠ A 的余∠ A 的正切,记为 ∠ A 的余切,记为记为 cosA , 即 tanA ,即 tan AcotA ,即 cot A A 的对边 A 的邻边 A 的邻边 ab ba∠ A 的正弦, a在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外 的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 2. 解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中,∠C=90 °,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为 a ,b ,c 1)三边之间的关系: a 2 b 2 c 2 (勾股定理) 2)锐角之间的关系: ∠ A+ ∠B=90 ° 3)边角之间的关系:sin B b , cos B a , tanB b, cotB ac c a b第 25 章 随机事件的概率1. 概率 (1)表示一个事件发生的可能性大小的这个数,叫做该事件的概率. P (所关注的事件 )=所关注的结果 / 所有等可能的结果. 2. 概率的预测(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果. (2)要清楚所有机会的结果. (1)、(2)两个结果个数之比就是关注的结果发生的概 率. 方法:画树状图、列表法.事件的分类1、确定事件 必然发生的事件:当 A 是必然发生的事件时, P ( A )=1 不可能发生的事件:当 A 是不可能发生的事件时, P (A ) =02、随机事件:当 A 是可能发生的事件时,0< P ( A )<1 概率的意义一般地,在大量重复试验中,如果事件 A 发生的频率 n会稳定在某个常数 p 附近,那么这个常数 p 就叫做事m件 A 的概率。

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