华东师大版数学九年级上知识点小结第21章 二次根式1、二次根式的意义形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。

二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。

2、最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。

3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

4、二次根式的主要性质（1）双重非负性：)0(0≥≥a a（2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。

＊（3）绝对性：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a5、二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。

0,0).a b ⋅=≥≥=(0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

附：1、根式)0,0(>≥a b ab的化简方法 （1）把a b 化为,a b然后分母有理化为.a ab （2）把a b 化为a a a b ⨯⨯，然后化为.aab2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：(1)根据（a ）a =2)0(≥a 可知a(2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a ，y b x a ±的有理化因式是y b x a第22章 一元二次方程：1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

2、把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

3、解一元二次方程的方法：①直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，可用直接开平方的方法.②配方法 ：将一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠变为2()(0)+=≥x m n n 的形式。

配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；把常数项移到方程的右边；（2）化二次项系数为1：方程两边同除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．③公式法 ：aac b b x 242-±-= （注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式）④因式分解法 ： 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 4、 根的判别式：24b ac ∆=- 当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根。

5、根与系数的关系：如果一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x ab x x =⋅-=+2121。

6、一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根7、一元二次方程实际应用问题归纳“连续变化”问题 （平均增长率问题）特征:始量a 经过两次连续增加（或降低 ）且百分率是相同（x ）.（第一阶段）→ 开始量a（第二阶段）→ 变化第一次为：a ±a. x 或a(1±x )（第三阶段）→ 变化第二次为：a(1±x )+a(1±x ).x 或a(1±x )2. 如果告诉第三阶段的量b ,则得方程：a(1±x )2=b面积问题：在一个图形中切除另外一个图形 注意平移思想的使用利润问题：每件的利润⨯数量=总利润，每件的利润=售价-进价 注意：①有关涨价和降价应用问题方程一般根据变化情况设未知数；解这类方程先缩小倍数，再化一般式，用十字相乘法解方程。

②打x 折=原价10x⨯③求最大利润，用配方法，注意与用配方法解一元二次方程区别：方程两边是同除二次项系数；这里是对二次三项式把二次项系数提前。

8、一元二次方程实际应用问题解题步骤：（1）弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的； （2）找出各量之间的等量关系，能作合理选择； （3）设好未知数，建立方程；（4）准确求解，最后合理（检验）作答。

第23章 图形的相似比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

若a:c =c:b ，即c 2=ab,则c 叫做a,b 的比例中项 比例性质：①基本性质：a b cd ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab ===+++⇒++++++=()0（K 值法）平行线分线段成比例定理定理：两条直线 被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. （简称“平行线分线段成比例”）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．相似的概念两个图形形状相同（大小可以不同）的平面图形叫做相似图形。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比叫做这两个相似三角形的相似比。

相似三角形的判定方法:①平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；（A 型和X 型）（这里相似是对应边成比例，注意与“平行线分线段成比例”对应线段成比例区别） ②两组角分别相等的两个三角形相似；（AA ） ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（SAS ） ④三边成比例的两个三角形相似；（SSS ） 直角三角形相似判定定理:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理22290CD AD BDACB AC AD ABCD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。

（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1） （2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

两个等边三角形一定相似。

三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心；重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31（如图G 是重心,则GF:GB:BF=1:2:3）.相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

注意：不相似三角形的面积比：同高不同底，面积比等于底边的比；同底不同高，面积比等于高的比。

相似三角形基本模型：CABD CABDE E D BACA 型斜A 型 有公共边的斜A 型 条件： DE ∥BC∠B =∠AED∠B =∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型 母子型 K 型 (一线三等角) 条件： AC ∥BD ∠B =∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高 ∠B =∠EDF=∠C图形变换的性质：(1)平移：对应点移动的方向相同，距离相等； (2)轴对称：对应点的连线被对称轴垂直且平分；(3)中心对称：对应点的连线过对称中心，且被对称中心平分；(4)位似：对应点的连线过位似中心，对应点到位似中心的距离的比等于相似比。

(5)旋转：对应点到旋转中心的距离相等，每个顶点的旋转角相等。

图形变换与坐标的关系(1)左右平移，纵不变，上下平移，横不变；上加下减，右加左减。

(2)关于x 轴对称，横不变，纵相反；关于y 轴对称，纵不变，横相反。

（用翻折理解） (3)关于原点对称，横纵都相反。

(4)若以原点为位似中心，作位似变换，若位似比是k①当新图形与原图形分别在原点异侧时，新图形点的坐标等于原图形对应点坐标乘以—k; ②当新图形与原图形分别在原点同侧时，新图形点的坐标等于原图形对应点坐标乘以k ③相似比等于同名坐标绝对值之比.⑸以原点为旋转中心将图形旋转90°，横、纵坐标绝对值交换相等。

黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于5-2=0.618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

位似图形概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点， 对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心， 这时的相似比又称为位似比。