第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。

荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。

横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。

中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。

薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。

放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。

只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。

（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。

弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。

将应力分量τxz 和τyz 用w 表示不考虑纵向荷载，f x = f y = 0，由平衡方程0=∂∂+∂∂+∂∂zy x xzxy x ττσ0=∂∂+∂∂+∂∂zyxyz y xy τστw x Ez y x w x w Ez y x z xy x xz 222333211∇∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-=∂∂μμτστ w yEz y x w y w Ez x y z xyyyz222333211∇∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-=∂∂μμτστ 因w = w (x , y )，以上二式积分得),()1(21222y x F w x Ez xz +∇∂∂-=μτ),()1(22222y x F w yEz yz +∇∂∂-=μτ 由板的上下边界条件(τxz )z = ±δ/2 = 0，(τyz )z = ±δ/2 = 0，得到w xz Exz 22224)1(2∇∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=δμτ w yz Eyz22224)1(2∇∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=δμτ 最后，将应力分量σz 用w 表示，设f z = 0（如果f z ≠ 0，可以将板的单位面积内的体力归入板面上的面力，只对σz 产生影响）0=∂∂+∂∂+∂∂zy x zyz xz σττ w z E y x z yz xz z 42224)1(2∇⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂-∂∂-=∂∂δμττσ ),(34)1(234322y x F w z z E z +∇⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=δμσ 在板的下边有边界条件(σz )z = δ/2 = 0，因此w z z E z 422121)1(6∇⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛---=δδμσ 在板的上边有边界条件(σz )z = -δ/2 = -qq w E =∇-423)1(12μδ 或： q w D =∇4薄板的弹性曲面微分方程，薄板小挠度弯曲问题的基本方程。

)1(1223μδ-=E D 称为薄板的弯曲刚度横截面上的内力和应力薄板弯曲问题中，要求应力分量在板的侧面上处处满足应力边界条件有困难，需应用圣维南原理，使板在厚度方向上的应力分量整体满足边界条件。

三边长度分别为dx 、dy 和δ 的六面体，在x 为常数的横截面上σx 和τxy 的合力（积分）为零，分别合成弯矩M x 和扭矩M xy ，考虑单位宽度上的内力x⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--==⎰-222222222322)1(12y w x w D y w x w E zdz M x x μμμδσδδ y x wD y x wE zdz M xy xy∂∂∂--=∂∂∂+-==⎰-22322)1()1(12μμδτδδ剪应力τxz 合成横向剪力F Sxw x D w x E dz F xz Sx 22232)1(12∇∂∂-=∇∂∂--==⎰-μδτδδ 同理，在y 为常数的横截面上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=2222222223)1(12x w y w D x w y w E M y μμμδ xy yx M y x wD y x wE M =∂∂∂--=∂∂∂+-=223)1()1(12μμδw yD w yEF Sy 2223)1(12∇∂∂-=∇∂∂--=μδ1. 内力为单位宽度的力，弯矩和扭矩的量纲为[力]，剪力的量纲为[力][长度]-1；2. 内力的符号规定：按右图为正；3. 薄板弯曲问题中主要计算弯矩 和扭矩，横向剪力一般不计算。

各应力分量可由内力表示为 z M xx 312δσ=，z M yy 312δσ=， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--=δδσz z q z 12122z M xyxy 312δτ=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22346z F Sx xz δδτ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22346z F Sy yz δδτ按各应力分量对薄板作用效应σx ，σy ：弯应力；τxy ：扭应力；τxz ，τyz ：横向剪应力；σz ：挤压应力。

边界条件，扭矩的等效剪力矩形薄板OABC ，OA 边是夹支边，OC 边是简支边，AB 、BC 边是自由边1. 夹支边OA(w )x = 0 = 0，(∂w /∂x )x = 0 = 0 (∂w /∂y )x = 0 = 0不是独立边界条件 2. 简支边OC(w )y = 0 = 0，(M y )y = 0 = 0 或写为 0)(0==y w ，002222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y x w y w μ如(w )y = 0 = 0得到满足，则必有∂2w /∂x 2 = 0，简支边的边界条件简化为 0)(0==y w ，0022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y y w3. 自由边AB自由边的弯矩、扭矩和横向剪力均为零，三个边界条件 (M y )y = b = 0，(M yx )y = b = 0，(F Sy )y = b = 0 简化：将扭矩变换为等效横向剪 力，与第三式合并。

设任意边界 上的微段EF = dx 上作用有扭矩xM yx dx ，可以变换为等效的两个力M yx ，分别作用于E 点和F 点。

相邻微段FG = dx 上作用有扭矩dx dx x M M yxyx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+，可以变换为等效的两个力dx xM M yx yx ∂∂+，分别作用于F 点和G 点。

在F 点合成向下的dx xM yx ∂∂，边界上的分布扭矩M yx 变换为等效分布剪力xM yx ∂∂，自由边AB 上的总剪力：xM F F yx Sy Sy∂∂+='。

角点（A 点和B 点）还有未被低消的集中力 F SA = (M yx )A ，F SB = (M yx )B自由边AB 的边界条件（不包括角点）最终可简化为 0)(==b y y M ，0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=by yx Sy x M F或写为02222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=b y x w y w μ，0)2(2333=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-+∂∂=by y x w y w μ4. 自由边BC与AB 边类似，边界条件 0)(==a x x M ，0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=ax xy Sx y M F 或写为02222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=a x y w x w μ，0)2(2333=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-+∂∂=ax y x w x w μ角点（B 点和C 点）还有未被低消的集中力 F SB = (M xy )B ，F SC = (M xy )C两自由边的交点B ，总的集中反力（注意方向定义）BB xy B yx SB y x w D M M F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂--=+=2)1(2)()(μ注意：按内力方向的规定，F SB 沿z 轴的负向为正，同理，F SO 也沿z 轴的负向为正，F SA 和F SC 则沿z 轴的正向为正。

如B 点无集中力作用，则0,22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂==by a x B y x w y x w B 点有沿z 轴正向的集中力F ，则)1(2,22μ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂==D Fy x w y x w by a x B 讨论：1. B 点有支撑时，角点条件 (w )B = 0 或 (w )B = ζ其中ζ为支柱沉陷，解出w 后，可由上式求支柱反力。

2. 与梁刚性连接的板，梁的弯曲和扭转刚度都很大时，板边可作为夹支边。

3. 梁的弯曲和扭转刚度都很小时，板边可作为自由边。

4. 梁的弯曲刚度大而扭转刚度小，板边可作为简支边。

例一，两边简支，两边自由的矩形薄板，边长分别为OC = a ，OA = b ，试求板的内力和角点反力；（1）在角点B 处受向下的集中力F 作用；（2）在角点B 处设有支柱，且支柱有一微小沉陷δ。