不确定系统鲁棒控制方法及在火控系统中的应用
引言
近年来不确定系统的鲁棒控制问题受到人们的广泛重视。

特别在军事领域，由于恶劣的战场工作环境影响，控制系统参数极易变化(如元器件老化、受损，强干扰影响等)，更增加了系统的不确定性。

为此，为保证武器系统战场环境的高可靠性，控制系统鲁棒性是一项重要的指标。

本文介绍一种基于李亚普诺夫方法的不确定系统鲁棒控制设计方法。

运用该方法可使系统的输出及状态满足指定的指数衰减规律，从而使系统不仅具有较强的鲁棒性，同时具有良好的动态特性。

如果将系统的非线性因素及时变因数作为系统的不确定性，该方法还可应用于相应的非线性与时变系统。

同样，若将高阶系统的高次项作为系统的不确定性，则可能将高阶系统简化为低阶系统，这为控制系统的设计带来方便。

本文将这一方法应用于某双35火炮的随动控制系统设计仿真。

结果表明，设计的控制系统无论对渐变参数还是突变参数均具有极强鲁棒性。

表明这一方法具有良好的实用性。

1 不确定系统鲁棒控制方法
基于李亚普诺夫方法的控制系统设计方法很早就受到人们的重视。

著名的控制理论专家如Kalman,Monopli等早在60年代初期即进行了研究［1～2］。

70年代后期以来，随着不确定系统鲁棒控制问题受到重视，
Gutman,Corless,Leitmann,Barmish,Tsay,Chen和Lee等在这方面做了大量的工作，使基于李亚普诺夫方法的确定系统设计有了很大进展［3］。

本文将Chen
和Lee关于线性不确定系统的设计方法推广到广泛应用的仿射非线性系统，大大扩展了这一方法的应用领域。

考虑如下具有不确定性的仿射非线性系统
(1)
其中x∈Rn为状态向量，u∈Rm为输入控制向量，t∈R为时间。

设系统在平衡点处x=0可线性化，并可表示为下列形式
(2)
则下述定理给出了一类不确定系统关于平衡点指数收敛的充分条件
定理设动态系统(2)的不确定部分有界且满足如下条件
ΔA(x，t)=BD(x，t)，ΔB(x，t)=BE(x，t) (3)及
‖D(x，t)‖≤μ，‖E(x，t)‖≤ε＜1 (4)
则线性状态反馈
u(t)=Kx(t)，K=-rBTP (5)
将使闭环系统以指数衰减率2η渐近稳定于平衡点x=0。

其中实数
(6)
P＞0为代数Riccati方程(A+ηI)TP+P(A+ηI)-PBR-1BP+Q=0 (7)
的解。

方程(7)中Q=QT＞0∈Rn×n，R=δI∈Rm×m，δ＞0
证明：定理的证明方法同文献［3］关于线性不确定系统鲁棒设计方法的证明(略)。

选取Lyapunov函数为
V(x)=xTPx (8)
则由式(2)和式(5)可得(x)为
(9)
考虑式(6)及式(4)，又由于
‖I+0.5(ET+E)‖≥1-0.5‖ET+E‖≥1-‖E‖≥1-ε，得
(10)
由式(4)可得
xT(I-PBD-DTBTP+μ2PBDDTBTP)x≥
xT(I-PBD-DTBTP+PBDDTBTP)x=‖(I-DTBTP)x‖≥0(11)
由式(11)及Riccati方程式(7)，式(10)可简化为(x)≤xT(-Q-2ηP+I)x
又由于Q≥I，最后得
由此有V(x(t))≤V(x(t
0))e-2η(t-t
)
可见，在定理的条件下，V(x(t))是以指数衰减率2η渐近收敛于平衡点x=0。

说明：
①本方法要求的条件式(3)和(4)并不严格。

如对单输入单输出系统，只要可表示为可控标准型，均满足条件式(3)。

式(4)仅要求控制矩阵的不确定部分不大于已知的确定部分，这一要求是合理的。

②由于定理的证明给出的只是充分条件，较为保守。

因此在实用中r可选的相对小一点，这样可以减少反馈量。

r的值可通过仿真或实际调试来确定。

这是一单变量调节问题，比PID控制器的调节要简单的多。

③文献［3］中，Chen和Lee认为V(x(t))是以指数衰减率η渐近稳定于平衡点x=0。

但本文的证明表明V(x(t))是以指数衰减率2η渐近稳定于平衡点
x=0。

下面的仿真可以表明本文的结论是正确的。

2 不确定系统鲁棒控制方法在火控系统设计中的仿真研究
实验表明，某双35火炮随动系统的开环为1型四阶系统，开环传递函数为
(12)
此处略去有关参数具体数值。

为检验本文鲁棒方法的有效性，对上述模型采取略去高阶导数项的方法可直接简化为
这时，对应于式(12)的系统可用下述带不确定性的状态方程表示
对应式(2),显然有
若希望系统的输出和状态按衰减率为2的负指数规律稳定收敛于平衡点x=0,则有η=1。

设选取Q=1，R=0.1。

由Riccati代数方程可得解
由式(5)可得相应的鲁棒控制为
取r=5，该闭环控制系统在初值为［x
1(0) x
2
(0)］=［-1 2］时调节过程如图1
所示。

从图中可以看出，状态是按ke-2t规律向x=0衰减收敛的。

为进一步检验系统的鲁棒性，我们取Δb=2sign(sin5t)，Δa=20sin(10t)。

其仿真结果如图2所示。

图中曲线db表示Δb，da表示Δa。

从图中可以看出，尽管系统的参数变化剧烈，不仅有渐变(由Δa表示)，而且还有突变(由Δb表示)，系统状态的响应同图1无不确定性时相比基本变化不大。

这充分表明了本文方法的鲁棒性。

图1 无参数不确定时的闭环系统响应图2 具有参数不确定时
的闭环系统响应
3 结束语
针对控制系统的鲁棒设计问题，本文介绍了一种基于李亚普诺夫方
法的设计方法。

该方法通过Riccati方程的求解，可以得到使系统的指
数衰减率向平衡点收敛的鲁棒控制算法。

本文通过将系统在平衡点处改写为线性化模型加不确定性的方法表明，本方法不仅对线性系统适用，同样适用于一类相当广泛的仿射非线性系统。

本文还对文献［3］所给出的指数收敛率进行了修正。

由于代数Riccati方程是非线性方程，过去其求解是相当麻烦的。

但目前由于计算机辅助计算工具的普遍应用，这已不在是问题了。

因此本方法有较强的实用性。

*中科院自动化所复杂系统动力学开放实验室基金资助课题
作者简介：王庆林.男，1963年生，北京理工大学自动控制系副教授，控制理论与应用教研室主任，中科院自动化研究所博士，中国自动化学会青年委员会副主任。

主要从事模糊控制、非线性控制、鲁棒控制及文献计量学研究。

董如梅.女，1972年生，硕士，北京理工大学自动控制系助教。

研究方向为计算机控制及模糊控制与决策。

陈锦娣.女，1937年生，北京理工大学自动控制系教授，工业自动化教研室主任。

研究方向为线性系统、智能控制及故障诊断与决策分析。

作者单位：(北京理工大学北京100081)
参考文献
1 Kalman R E,Bertram J E.Control System Analysis and Design Via the “Second Method” of Lyapunov,Journal of Basic Engineering.1990,6:371～393
2 Monopoli R V.Controller Design for Nonlinear and Time Varying Plants, NASA CR-152,1965
3 Chen C T,Lee M C.A New Class of Robust Controllers for Linear Uncertain Systems.J.of Control Systems and
Technology.1996,4(1):63～71。