基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式三、常用的几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)(3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b.四、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+：当且仅当a ＝b 时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．(1)如果积xy是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；+≤≤2a b≤+2aba b定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。

等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )≥4，所以z 的最小值是4.解二：z ＝2＋x 2y 2－2xy xy ＝(2xy＋xy)－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝14，由f(t)＝t ＋2t 在(0，14]上单调递减，故当t ＝14时， f(t)＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值254.误区警示：１．已知函数，求函数的最小值和此时x 的取值．xx x f 1)(+=11:()22112.f x x x xxx x x =+≥•===±解当且仅当即时函数取到最小值3２．已知函数，求函数的最小值．)2(2)(>-+=x x x x f 33()22223326f x x x x x x x x x =+≥•-->⎧⎪=⎨=⎪-⎩解：当且仅当即时，函数的最小值是23x =+大家把代入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的最小值？(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3x (x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋2 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：若0<x ≤π2，则f(x)＝sinx ＋4sinx 的最小值为________．考点1 利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1：（1）已知c b a ,,均为正数，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++（2）已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++（3）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.考点2 利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4： (1)设0<x<2，求函数)2(2x x y -=的最大值．【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0，(2) x>0，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy 的最大值.4）已知=y 4a －2＋a ，求y 的取值范围． ．(5)已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y 的最小值．练习：求下列各题的最值．(1)已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5y 的最小值；(2)x <0，求f(x)＝12x ＋3x 的最大值；(3)x<3，求f(x)＝4x －3＋x 的最大值．（4）14,0,0=+>>b a b a ，求ab 的最大值。

考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。

2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．例3：（1）已知+∈R b a ,,ab b a =++3，求ab 的最小值。

（2）已知)10(122<<-=x x x y ，求y 的最大值。

（3）已知+∈R b a ,，1222=+b a ，求21b a +的最大值。

（3）已知0>>y x ，1=xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。

考点4 基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是： (1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值； (4)还原实际问题，作出解答． 练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l(k 为正常数)，假定车身长都为4 m ，当车速为60 km/h 时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d 关于车速v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？归纳提升：1．创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接． (1)a ＋1a ≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．(2)b a ＋ab ≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

例题【5】. 设x ，y ，z ∈ R ，且满足x 2 + y 2 + z 2 = 5，则x + 2y + 3z 之最大值为 解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70∴ x + 2y + 3z 最大值为70【6】 设x ，y ，z ∈ R ，若x 2 + y 2 + z 2 = 4，则x - 2y + 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z) = 解(x - 2y + 2z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36∴ x - 2y + 2z 最小值为 - 6此时322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，34-=z练习【8】、设25 , , ,222=++∈z y x z y x R ，试求z y x 22+-的最大值与最小值。

【9】、设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，试求222z y x ++之最小值。