2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题）1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()*n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()*n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得．因此数列为“M—数列”.（2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则.由 ，得 ，当 时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ，.因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下：x e(e，+∞)+0–f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。
（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。
②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
2.（2019•上海）已知等差数列{}n a 的公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求 T 的所有可能的值．【答案】 （1）解： 等差数列 的公差 ，数列满足，集合 ． 当 ， 集合 ． （2）解： ，数列满足，集合 恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时，② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，如图 ， ， 此时 ， 综上，或者．（3）解：①当 时，，集合，符合题意．②当时，，， ，或者 ，等差数列 的公差 ，故 ，，又当时满足条件，此时．③当时，，，，或者，因为，故．当时，满足题意．④当时，，，所以或者，，故．当时，，满足题意．⑤当时，，，所以，或者，，，故当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，．【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式【解析】【分析】（1）等差数列的公差，数列满足，集合，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当时的集合S.(2)当等差数列首项时，利用数列满足，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用是不超过7的正整数，从而求出满足要求的的所有可能的值．3.（2019•浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3==S3，数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n+b n，S n+1+b n、S n+2+b n成等比数列（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式 ;（2）记C n=2n nab，n∈N*，证明：C1+C2+…+C n ＜2n，n∈N* .【答案】（1）设数列的公差为d，由题意得，解得．从而．由成等比数列得．解得．所以．（2）．我们用数学归纳法证明．⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；⑵假设时不等式成立，即．那么，当时，．即当时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式 对任意成立． 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k 时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.4.（2019•天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123223,,4 3.a b b a b a ====+（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足 求()*112222n n a c a c a c n N ++•••+∈.【答案】 解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d ，等比数列 的公比为q 依题意，得，解得，故.所以，的通项公式为，的通项公式 为 .（Ⅱ）解： = . ① ， ②②-①得， . 所以，【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ，的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、的通项公式；（II ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．5.（2019•天津）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,6,22,2 4.a b b a b a ===-=+（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<⎪==⎨=⎪⎩ 其中*.k N ∈. （i ）求数列(){}221nna c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni i i a c n N =∈∑..【答案】 解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为.依题意得 解得故 .所以，的通项公式为 的通项公式为.（Ⅱ）（i ） . 所以，数列 的通项公式为 .（ii ）【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。
（Ⅰ）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 和的通项公式； （Ⅱ）由（ⅰ）的通项公式为 的通项公式为， 得出数列的通项公式；（ⅱ）将 代值并化简即可求值。
6.（2019•卷Ⅱ）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216.a a a ==+ （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和。
【答案】 （1）解：设{}n a 的公比为q ，由题设得 ，即.解得 （舍去）或q=4. 因此的通项公式为.（2）由（1）得，因此数列{}n b 的前n 项和为 .【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q 的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。
（2）由已知求出数列{}n b 的通项公式，再利用等差数列的前n 项和公式即可求出结果。
7.（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】 解：（I ）根据三者成等比数列， 可知 ，故 ，解得d=2， 故；（Ⅱ）由（I ）知 ，该二次函数开口向上，对称轴为n=， 故n=5或6时， 取最小值-30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出 ；（Ⅱ）由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434,n n n a a b +=-+143 4.n n n b b a +=--（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】 （1）解：由题设得，即．又因为a 1+b 1=l ，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．由题设得 ，即．又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，，．所以，．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出，则是首项为1，公比为的等比数列，再结合已知条件可推出．即可得出是首项为1，公差为2的等差数列．（2）结合（1）的结论把两个数列、的通项公式相减，即可得出两个数列{a n}和{b n}的通项公式。
9.（2019•北京）已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项…第i m项（i1<i2<…<i m）.若a i1<a i2<…<a im.则称新数列a i1， a i2，…，a im.为{a n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列{a n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a m0，长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n0，若p<q，求证：a m0<a n0；（III）设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。