改进模型：
l1: 鱼的有效长度 A1：横截面积
V l1 A 1
l1 l
2 A s 1
W kls
2
W V
数学建模
模型检验
在钓鱼比赛期间收集了有关数据:
第i条鱼 长度li
腰围si
所钓鱼的长度、腰围与重量 cm, g
1 36.83
2 31.75
3

5 32.07
6
7
8 32.07
决策 ~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求 ~ 在商人安全的前提下(两岸的随从数都不比商人多), 经有限步使全体人员过河。
数学建模
模型建立及求解
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; 设 yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态，S ~允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
态转方程，由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0)。
数学建模
模型求解
穷举法 ~ 编程上机 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3 2
y
s1
d1
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} 允许状态 ~ 10个 点
1
d11 0sn+1 1 2 3 x
sk+1=sk+(-1)k dk
~状态转移方程
uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2; vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2, D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
dk=(uk , vk)~决策
多步决策问题 求dk D (k=1,2, , n), 使sk S, 并按状
数据很接近在一条直线 上，作为较粗略的模型， 式（1）可被接受
l3 W 0.01475l 68
3
数学建模
误差估计
对模型的误差进行估计 计算误差 ei Wi 0.01475li 3 及平均偏差
第i条鱼 偏差ei 平均偏 差
1
2
3
4
5
6
7
8
28.51 9.811 78.38 0.219 278.89 148.41 29.31 32.90 93 7 20 3 32 80 72 68
75.8084
模型虽然可以估计鱼的重量，偏差也不算太大，但模型只考虑 了鱼的长度，而忽略了鱼的宽度，因此没有区分肥鱼和瘦鱼， 而在同样长度下它们的重量会相差较大，考虑改进上述模型。
数学建模
模型改进
增加假设： 4）鱼的横截面是几何相似的，且用鱼的腰围 S 作为特征量； 5）鱼的重量主要来自鱼的主体，鱼头和鱼尾占总重量的较小。
21.59
43.815 36.83
43.815 35.88
31.75 22.86
24.765 21.272 27.94
24.765 21.59
重量Wi
765.4
481.9
1162.3 737.1
765.4
1389.1 652.0
453.6
可见数据的直线型分布 更好一些，说明改进的 模型更符合实际。
2 ls W 0.03263ls 2 30
日常生活中的数学建模
一、商人安全过河 二、鱼的重量估计
数学建模
一、商人安全过河 问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多， 就杀人越货。但是乘船渡河 的方案由商人决定。
商人们怎样才能安全过河?
河
小船(至多2人)
3名商人
问题分析
多步决策过程
3名随从
数学建模
数学建模
模型建立与求解
测量所钓鱼的长度为 l，鱼的 重量W和长度 l 的立方成正比 第i条鱼 1 2 3 4
W kl 3，k 0 （1）
鱼的长度和重量(cm,g)
5
6
7
8
长度li
重量Wi
36.83 31.75 43.81 36.83 32.07 43.81 35.88 32
765.4 481.9 1162 737.1 765.4 1389 652.0 453
数学建模
问题分析和模型假设
问题分析： 由于鱼的重量受着很多因素的影响，如不同种类的鱼 会有不同的形状、不同的重量密度，不同性别的鱼也 有很大差异，特别是在产卵季节。因此，可先考虑一 种鱼，建立其重量和某一测量量的关系。 模型假设： 1）考虑某一种鱼的重量估计，且这种鱼的形状都是 几何相似的； 2）鱼的平均重量密度不变； 3）钓鱼是在非产卵期进行的。
允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移。 d1, d2, ,d11给出安全渡河方案
评注和 思考:
规格化方法,易于推广
考虑4名商人各带一名随从的情况
数学建模
二、鱼的重量估计
出于保护的目的，钓鱼俱乐部想鼓励其会员在钓到鱼 后马上将它们放生。该俱乐部还希望根据钓到鱼的重 量给予钓鱼者一定的奖励。 那么钓鱼者怎么确定其 所钓到的鱼的重量呢？你 可能会建议每位钓鱼者带 一个便携秤。可是，这样 的秤用起来不方便，而且 称起来并不准确，特别是 对那些小鱼。那么，如何 根据鱼的某个易于测量的 量来估计鱼的重量呢？