徐慎⾏编号032015年4⽉25⽇
物理学探究案
求物体或系统质⼼的⽅法总结
⼀、质⼼的概念
物体的质⼼即质量中⼼，可以表⽰物体的位置。

质⼼的运动状态可以表⽰物体或整个系统的运动状态。

我们可以定义质⼼为系统内各物体位置关于质量的加权平均值，即
其中和分别表⽰质⼼和各个物体的位置⽮量，m i 代表各个物体的质量，M 表⽰整个系统的质量，即
显然，对于单个物体，其质⼼也可以由积分给出
其中和分别是关于 t 的参数⽅程。

当然，⼀般我们使⽤分量表达式来求取质⼼。

此时不需要参数，对应的变量即可⽤来表⽰坐标位置。

⼆、求取质⼼的⽅法①微元法求质⼼
r C !"=
1M
m i r i
!i =1
n ∑r C !"r i !
M =m i
i =1n
∑r C !"=
1M
m t ()r !
t ()d t
t 1
t 2
∫
m t ()=m x (),m y (),m z ()()r !
t ()=x t ()y t ()z t ()⎡⎣⎤⎦
T
微元法应⽤于求取质⼼位置，需要⽤到由积分给出的质⼼公式来求解。

通常我们会将物体看成由⽆穷个微元构成，然后逐个求取。

这是定义法的⼀种。

1 R
解 要求半圆环的质⼼，⾸先要求总质量。

设半圆环质量线密度为 λ，则
如图所⽰，由对称可以看出质⼼⼀定在 x 轴上，故只需考虑其横坐标位置。

即
⽽对圆的⽅程求导可得
故得到
故物体质⼼。

②组合法
将系统各个质量已知、位置已知的部分求取关于质量的加权平均位置，这也是定义法的⼀种。

本⽅法直接套⽤定义式即可，这⾥不再展开。

M =λπR 2
x C =
1M
x λd l
R
∫
=1λπR x λ1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2
⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫=1πR x 1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠
⎟d x 0R ∫x 2+y 2=R 2⇒
d y d x =−x y =−x
R 2−x
2y >0()x C =1πR x 1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2
⎛⎝⎜⎞⎠
⎟d x 0R ∫=1πR xR 2
R 2−x 2d x 0R ∫=2R π
2R π,0⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
③负质量叠加法
⼀个部分中空的物体，通常可以看成该物体由⼀个正质量的实⼼物体和⼀个负质量的实⼼物体叠加⽽成的。

由此，我们可以⽤位置的加权平均的⽅法来求取物体的质⼼位置。

2 解 该物体可视为⼀个半径为 R 的正质量⼤圆与⼀个半径为的负质量⼩圆叠加⽽成，设其质量⾯密度为 σ，则它们的质量
，系统的质⼼位置⼀定位于 x 轴上，⽽两圆的⽔平位置可以表⽰为
，因此系统的质⼼⽔平位置
故物体的质⼼位置。

④⼒矩平衡法
本⽅法主要⽤于处理不均匀的杆的质⼼位置。

3 l
解 由三⼒汇交原理，可得
⑤巴普斯定理
此⽅法要引⼊巴普斯定理，这是⼀个⼗分有效的质⼼求解⽅案。

R 2m 1=σπR 2
m 2=−
σπR 2
4
x 1=0x 2=R 2
x C =
−σπR 24⋅
R 2σπR 2
−
σπR 24
=−R 6−R 6,0()
AC =l tan 45°
tan 45°+tan 30°=
3−3()
l 2R
O
F 1F 2C 45°
60°
mg
A
B
此⽅法可以解决均匀平⾯的质⼼问题。

定理中所指的平⾯运动可以是平移或绕定轴旋转的运动。

4 R
解 半圆⾯绕 y 轴旋转 2π，形成⼀个球体，根据巴普斯定理
其中 x C 即质⼼横坐标，故
对于前⾯的例1，也可以运⽤巴普斯定理来解。

解 考虑半圆弧，将其绕 y 轴旋转 2π，形成球⾯，据巴普斯定理
由此解得
43πR 3V
!"#=1
2πR 2S
!"#⋅2πx C
l
!x C =
4R 3π
4πR 2=πR ⋅2πx C
x C =
2R π。