2020-2021学年第一学期期末测试人教版八年级数学试题第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共24分） 1.下列图形：线段、角、三角形、四边形，等边三角形、等腰三角形、正五边形、正六边形中，是轴对称图形的有( )个A. 5B. 6C. 7D. 82.已知点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，点(),P a b --在第( )象限A. 一B. 二C. 三D. 四3.若分式211x x --的值为零，则x 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 4.一个多边形的外角和等于它的内角和的12倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是( )条 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.如图，//AB CD ，再添加下列条件仍不能判定ABC CDA ∆∆≌的是( )A. BC AD =B. AB CD =C. //AD BCD. B D ∠=∠ 6.阅读下列各式从左到右的变形()()()()()()20.2211111123410.22a b a b x x a x y x y a a b a b x y x y x y x y a+++-++=-=+=++-=+++---+你认为其中变形正确的有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 7.如果把分式2x y x +中x 和y 都扩大10倍，那么分式值 ( ) A. 扩大2倍 B. 扩大10倍 C. 不变 D. 缩小10倍 8.如图，在锐角三角形ABC 中，直线l 为BC 的中垂线，射线m 为∠ABC 的角平分线，直线l 与m 相交于点P.若∠BAC ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP 的度数是( )A. 24°B. 30°C. 32°D. 36°9.若4x 2+（k ﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ）A. 11B. 21C. ﹣19D. 21或﹣1910.如图， AD 是ABC ∆的角平分线，20C ∠=︒ ， AB BD AC +=，将ABD ∆沿AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为点E ．那么B 等于( )A. 80︒B. 60︒C. 40︒D. 30 11.已知关于x 的分式方程12111m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是( ) A. m ＜4且m ≠3 B. m ＜4 C. m ≤4且m ≠3 D. m ＞5且m ≠6 12.如图，AB=AC ，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，CF 与BE 交于点D ．有下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③点D 在∠BAC 的平分线上；④点C 在AB 的中垂线上．以上结论正确的有（ ）个．A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（选择题 共76分）二、填空题（本大题共5 小题，每小题2 分共10 分）13.已知218a =，23b =，则212a b -+的值为__________．14.对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=(,0){(,0)b b a a b a a a b a ->≠≤≠，例如：2☆3=2﹣3=18，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．15.实数范围内分解因式35x x -=___________.16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．17.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为_____．三、解答题(本大题共5小题，共29分)18.计算：()()222321()2x x y xy y x x y x ⎡⎤---÷-⎣⎦ 19.分解因式：22363ax axy ay -+20.解方程：241222x x x x +=--； 21.先化简，再求值：（442a a --﹣a ﹣2）÷2444a a a --+．其中a 与2，3构成△ABC 的三边，且a 为整数． 22.如图，已知ABC ∆的顶点都在图中方格的格点上．(1)画出ABC ∆关于x 轴对称的'''A B C ∆，并直接写出'A 、'B 、'C 三点的坐标．(2)求出'''A B C ∆的面积．四、解答题(本大题共2小题，共13分)23.如图，点F 、C 在BE 上，BF CE =，A D ∠=∠，B E ∠=∠.求证：AB DE =.24.列方程解应用题：为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．五、解答题(本大题共3小题，共24分)25.如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E ， F 分别在BC ，AC 上，且AF CE =，探究DE 与DF 的关系，并给出证明．26.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如22424x y x y --+,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：22424(2)(2)2(2)(2)(22)x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：2292a ab b --+； (2)△ABC 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断△ABC 的形状． 27.如图，ABC ∆是边长为6cm 的等边三角形若点P 以1/cm s 的速度从点B 向点C 运动，到C 点停止运动；同时点Q 以1.5/cm s 的速度从点C 向点A 运动，到A 点停止运动，(1)试求出运动到多少秒时，PCQ∆等边三角形； (2)试求出运动到多少秒时，PCQ ∆直角三角形．答案与解析第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题2分，共24分） 1.下列图形：线段、角、三角形、四边形，等边三角形、等腰三角形、正五边形、正六边形中，是轴对称图形的有( )个A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.【详解】∵轴对称图形是：线段、角、等边三角形、等腰三角形、正五边形、正六边形共6个； 故答案为：B.【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.2.已知点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，点(),P a b --在第( )象限A. 一B. 二C. 三D. 四 【答案】C【解析】【分析】根据点A 、点B 关于y 轴对称，求出a ，b 的值，然后根据象限点的符号特点即可解答.【详解】∵点() ,3A a 、点()3, B b -关于y 轴对称，∴a=3，b=3，∴点P 的坐标为()3, 3 --，∴点P 在第三象限，故答案为：C.【点睛】本题考查了轴对称和象限内点的符号特点，解题的关键是熟练掌握其性质. 3.若分式211x x --的值为零，则x 的值为（ ） A. 0B. 1C. ﹣1D. ±1【答案】C【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x ．【详解】解：由x 2﹣1＝0，得x ＝±1． 又∵x-1≠0，即x≠1，∴x ＝﹣1时分式的值为0．故选：C ．【点睛】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．4.一个多边形的外角和等于它的内角和的12倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是( )条 A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】设这个多边形有n 条边，由题意得方程（n-2）×180=360×2，解方程可得到n 的值，然后根据n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．【详解】设这个多边形有n 条边，由题意得：（n-2）×180=360×2，解得；n=6，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6-3=3，故答案为：A ．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式． 5.如图，//AB CD ，再添加下列条件仍不能判定ABC CDA ∆∆≌的是( )A. BC AD =B. AB CD =C. //AD BCD. B D ∠=∠【答案】A【解析】根据AB ∥CD ，可得∠BAC=∠ACD ，再加上公共边AC=AC ，然后结合全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，A 、添加BC=AD 不能判定△ABC ≌△CDA ，故此选项符合题意；B 、添加AB=CD 可利用SAS 判定△ABC ≌△CDA ，故此选项不合题意；C 、添加AD ∥BC 可得∠DAC=∠BCD ，可利用ASA 判定△ABC ≌△CDA ，故此选项不合题意； D 、添加∠B=∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△CDA ，故此选项不合题意；故答案为：A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．6.阅读下列各式从左到右的变形()()()()()()20.2211111123410.22a b a b x x a x y x y a a b a b x y x y x y x y a+++-++=-=+=++-=+++---+你认为其中变形正确的有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 【答案】D【解析】【分析】根据分式的基本性质进行分析判断即可.【详解】由分式的基本性质可知：（1）等式0.220.22a b a b a b a b++=++中从左至右的变形是错误的； （2）等式11x x x y x y+-+-=--中从左至右的变形是错误的； （3）等式()()11x y x y x y x y+=++--+中从左至右的变形是错误的； （4）等式211a a a+=+中从左至右的变形是错误的. 故上述4个等式从左至右的变形都是错的.故选D.【点睛】熟记“分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个值不为0的整式，分式的值不变.”是解答本题的关键.7.如果把分式2x yx+中x和y都扩大10倍，那么分式的值()A. 扩大2倍B. 扩大10倍C. 不变D. 缩小10倍【答案】C【解析】【分析】根据题意，将分式2x yx+换成10x，10y，再化简计算即可．【详解】解：若x和y都扩大10倍，则102010(2)2 1010x y x y x y x x x+++==，故分式的值不变，故答案为：C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是用10x，10y替换原分式中的x，y计算．8.如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，射线m为∠ABC的角平分线，直线l与m相交于点P.若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数是( )A. 24°B. 30°C. 32°D. 36°【答案】C【解析】【分析】连接PA，根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，得到∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义得到∠PBC=∠ABP，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】连接PA，如图所示：∵直线L 为BC 的垂直平分线，∴PB=PC ，∴∠PBC=∠PCB ，∵直线M 为∠ABC 的角平分线，∴∠PBC=∠ABP ，设∠PBC=x ，则∠PCB=∠ABP=x ，∴x+x+x+60°+24°=180°，解得，x=32°， 故选C ．【点睛】考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9.若4x 2+（k ﹣1）x+25是一个完全平方式，则常数k 的值为（ ）A. 11B. 21C. ﹣19D. 21或﹣19 【答案】D【解析】∵4x 2+（k ﹣1）x +25是一个完全平方式，∴k -1=±2×2×5,解之得k =21或k =-19.故选D.10.如图， AD 是ABC ∆的角平分线，20C ∠=︒ ， AB BD AC +=，将ABD ∆沿AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为点E ．那么B 等于( )A. 80︒B. 60︒C. 40︒D. 30【答案】C【解析】【分析】 根据折叠的性质可得BD=DE ，AB=AE ，然后根据AC=AE+EC ，AB+BD=AC ，证得DE=EC ，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【详解】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，∴BD=EC，∴DE=EC．∴∠EDC=∠C=20°，∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．∴∠B=∠AED=40°故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，解决本题的关键是证明DE=EC．11.已知关于x的分式方程12111mx x--=--的解是正数，则m的取值范围是( )A. m＜4且m≠3B. m＜4C. m≤4且m≠3D. m＞5且m≠6【答案】A【解析】【详解】方程两边同时乘以x-1得，1-m-（x-1）+2=0，解得x=4-m．∵x为正数，∴4-m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4-m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选A．12.如图，AB=AC，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，CF与BE交于点D．有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④点C在AB的中垂线上．以上结论正确的有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【详解】解：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠AEB=∠AFC=∠CED=∠DFB=90°．在△ABE 和△ACF 中，A A AEB AFC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴AE=AF ．∵AC=AB ，∴CE=BF ．在△CDE 和△BDF 中，CDE BDF CED DFB CE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△BDF （AAS ）∴DE=DF ．∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB ，∴点D 在∠BAC 的平分线上．根据已知条件无法证明AF=FB.综上可知，①②③正确，④错误，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．第Ⅱ卷（选择题 共76分）二、填空题（本大题共5 小题，每小题2 分共10 分）13.已知218a =，23b =，则212a b -+的值为__________．【答案】4【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】：∵2a =18，2b =3，∴2a-2b+1=2a ÷（2b ）2×2=18÷32×2=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，解题关键是将原式进行正确变形．14.对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=(,0){(,0)b b a a b a a a b a ->≠≤≠，例如：2☆3=2﹣3=18，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．【答案】16【解析】【分析】判断算式a ☆b 中，a 与b 的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.【详解】由题意可得：[2☆（﹣4）]☆1=2﹣4☆1 =116☆1 =（116）﹣1 =16，故答案为16．【点睛】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.15.在实数范围内分解因式35x x -=___________. 【答案】()()55x x x +- 【解析】提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，即原式=2(5)(5)(5)x x x x x -=+-.故答案为()()55.x x x +-16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．【答案】110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．17.如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为_____．【答案】12【解析】【分析】作C 关于AB 的对称点E ，连接ED ，易求∠ACE=60°，则AC=AE ，且△ACE 为等边三角形，CP+PD=DP+PE 为E 与直线AC 之间的连接线段，其最小值为E 到AC 的距离=AB=12，所以最小值为12.【详解】作C 关于AB 的对称点E ，连接ED ，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°，∵AC=AE ，∴△ACE 为等边三角形，∴CP+PD=DP+PE 为E 与直线AC 之间的连接线段，∴最小值为C'到AC 的距离=AB=12，故答案为12【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．三、解答题(本大题共5小题，共29分)18.计算：()()222321()2x x y xy y x x y x ⎡⎤---÷-⎣⎦ 【答案】288-xy y【解析】【分析】根据整式的混合运算法则进行运算即可. 【详解】原式322232214x y x y x y x y x ⎡⎤=--+÷⎣⎦ 32221224x y x y x ⎡⎤=-÷⎣⎦32222112244x y x x y x =÷-÷ 288xy y =-【点睛】本题看考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键.19.分解因式：22363ax axy ay -+【答案】()23-a x y【解析】【分析】先提取公因式，然后在利用公式法分解因式即可.【详解】原式()2232a x xy y =-+()23a x y =-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20.解方程：241222x x x x +=--； 【答案】原分式方程无解.【解析】【分析】按照去分母、移项、合并同类项的步骤求解即可.【详解】方程两边同时乘以()2x x -，得：()422x x +-=2x =检验：当2x =时，()20x x -=∴原分式方程无解.【点睛】此题主要考查分式方程的求解，熟练掌握，即可解题.21.先化简，再求值：（442a a --﹣a ﹣2）÷2444a a a --+．其中a 与2，3构成△ABC 的三边，且a 为整数． 【答案】﹣a 2+2a ，-3【解析】分析：先算减法，再把除法变成乘法，算乘法，求出a ，最后代入请求出即可． 详解：原式22(44)(4)(2)24a a a a a ----=⋅--， 22(4)(2)2.24a a a a a a a ---=⋅=-+--∵a 与2，3构成△ABC 的三边，且a 为整数，∴a 为2、3、4，当a =2时，a −2=0，不行舍去；当a =4时，a −4=0，不行，舍去；当a =3时，原式=−3.点睛：考查分式混合运算以及三角形的三边关系，掌握分式混合运算的法则是解题的关键.22.如图，已知ABC ∆的顶点都在图中方格的格点上．(1)画出ABC ∆关于x 轴对称的'''A B C ∆，并直接写出'A 、'B 、'C 三点的坐标．(2)求出'''A B C ∆的面积．【答案】（1）作图见解析，()'2, 4A --， ()'4, 1B --，() ' 1,2C ；（2）10.5【解析】【分析】（1）根据关于x 轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）求'''A B C ∆的面积即可.【详解】：（1）如图所示，△A ′B ′C ′即为所求，A ′（-2，-4）、B ′（-4，-1）、C ′（1，2）；（2）'''A B C ∆的面积为：11156363532=10.5222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯﹣﹣﹣. 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，根据题意得出对应点坐标是解题关键． 四、解答题(本大题共2小题，共13分)23.如图，点F 、C 在BE 上，BF CE =，A D ∠=∠，B E ∠=∠.求证：AB DE =【答案】证明见解析.【解析】【分析】由BF CE =可得，BC=EF ，从而可利用AAS 证得△ABC≌△DEF，从而得出AB=DE.【详解】证明：BF CE =，BF CF CE CF ∴+=+即BC EF =，在ABC ∆和DEF ∆中， A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABC DEF ∴∆≅∆AB DE ∴=.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，本题的关键是掌握全等三角形的判定方法.24.列方程解应用题：为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．【答案】256km/h ．【解析】【分析】根据题意，设原来火车的速度是x 千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．【详解】解：设原来火车的速度是x 千米/时，根据题意得： 1280x ﹣12803.2x=11， 解得：x=80，经检验，是原方程的根且符合题意．故80×32=256（km/h ）．答：高铁的行驶速度是256km/h ．【点睛】本题考查分式方程的应用．五、解答题(本大题共3小题，共24分)25.如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E ， F 分别在BC ，AC 上，且AF CE =，探究DE 与DF 的关系，并给出证明．【答案】DE DF =，DE DF ⊥，证明见解析【解析】【分析】连接CD ，首先根据△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点D 是AB 的中点得到CD=AD ，CD ⊥AD ，从而得到△DCE ≌△DAF ，证得DE=DF ，DE ⊥DF ．【详解】DE DF =，DE DF ⊥证明如下：连接CD∴ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒∴45A ∠=︒∵D 为AB 的中点．∵CD AB ⊥且CD 平分ACB ∠∵1245A ∠=∠=∠=︒∵AD CD =在ADF ∆和CDE ∆中2AD CD A AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF CDE ∆≅∆（SAS ）∴DF DE =34∠=∠∵CD AB ⊥于D∴3590∠+∠=︒∴4590∠+∠=︒即DE DF ⊥【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得ADF CDE ∆≅∆是解题的关键.26.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如22424x y x y --+,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：22424(2)(2)2(2)(2)(22)x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：2292a ab b --+；(2)△ABC 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断△ABC 的形状．【答案】（1）(3)(3)a b a b -+--；（2）△ABC 的形状是等腰三角形；【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；（2）先从2a ab -中提取公因式a ，从44ac bc -中提取公因式4c ，再提取它们的公因式-a b ，最后根据0a b -=，判断出△ABC 是等腰三角形.【详解】（1）2222()3(3)(239)a b a b a a b b a b =--=-+-+---；（2）∵2440a bc ac ab -+-=，2440a ab ac bc -+-=，∴()40)(a a b c a b -+-=，∴4(0)()a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ΔABC 的形状是等腰三角形.【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.27.如图，ABC ∆是边长为6cm 的等边三角形若点P 以1/cm s 的速度从点B 向点C 运动，到C 点停止运动；同时点Q 以1.5/cm s 的速度从点C 向点A 运动，到A 点停止运动，(1)试求出运动到多少秒时，PCQ ∆为等边三角形；(2)试求出运动到多少秒时，PCQ ∆为直角三角形．【答案】（1）125秒；（2）247秒或15秒 【解析】【分析】 （1）设运动t 秒时，PCQ ∆为等边三角形，根据CP CQ =列出关于t 的方程求解即可；（2）设运动a 秒时，分90QPC ∠=︒或者90PQC ∠=︒两种情况列方程求解即可.【详解】(1)设运动t 秒时，PCQ ∆为等边三角形∴CP CQ =6 1.5t t =-125t = ∴当运动到125秒时，PCQ ∆为等边三角形． (2) ∵PCQ ∆为直角三角形．60C ∠=°∴可能90QPC ∠=︒或者90PQC ∠=︒① 当运动a 秒时，90QPC ∠=︒∵60C ∠=°∴30CQP ∠=︒∴2CP CQ =∴()2 6 1.5a a -=247a = ② 当运动b 秒时，90PQC ∠=︒∵60C ∠=°∴30CPQ ∠=︒∴2CQ CP =∴2 1.56b b ⨯=-．1.5b = 综上所述，运动247秒或1.5秒时，PCQ ∆为直角三角形 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，解题的难点在于分类讨论的数学思想的运用，要做到不重不漏的分析问题的存在性．。