2020-2021学年广东省深圳市宝安中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列运用平方差公式计算，错误的是()A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (x+1)(x−1)=x2−1C. (2x+1)(2x−1)=2x2−1D. (−a+b)(−a−b)=a2−b22.如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是()A. (a−b)2=a2−2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. a(a−b)=a2−ab3.如图，AB//CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于()A. 122°B. 151°C. 116°D. 97°4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是()A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. ①②③都带去5.如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是()6.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC=104°，∠C=40°.则有下列结论：①∠BAE=52°；②∠DAE=2°；③EF=ED；④S△ABF=1S△ABC.其中正确的有()2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个AC的7.如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为()A. 65°B. 60°C. 55°D. 45°8.如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是()A. 10：05B. 20：01C. 20：10D. 10：029.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()A. 9B. 6C. 4D. 310.已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为()A.6cm2B. 8 cm2C. 10 cm2D. 12 cm211.√64的立方根是()A. 2B. ±2C. 8D. −812.已知|a|=5，√b2=7，且|a+b|=a+b，则a−b的值为()A. 2或12B. 2或−12C. −2或12D. −2或−12二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知(x+y)2=1，(x−y)2=49，则x2+y2的值为______．14.已知a−b=b−c=3，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于______ ．515.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF.点O为AE与BF的交点，连接CO.若CA=2，CO=2√3，那么CB的长为______ ．16.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是________．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）17.计算：)−2−(3.14−π)0(1)(−1)2012+(−12(2)(2x3y)2⋅(−2xy)+(−2x3y)3÷(2x2)(3)(6m2n−6m2n2−3m2)÷(−3m2)18.已知：2a2+3a−6=0，求代数式3a(2a+1)−(2a+1)(2a−1)的值．19.已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．20.阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如√3，2√3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一)√3=√3√3×√3=53√3；(二)2√3+1=2×(√3−1)(√3+1)(√3−1)=2(√3−1)(√3)2−1=√3−1；(三)2√3+1=3−1√3+1=(√3)2−12√3+1=(√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简√5+√3：①参照(二)式化简√5+√3=______．②参照(三)式化简2√5+√3=______．(2)化简：1√3+1+1√5+√3+1√7+√5+⋯+1√99+√97．四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）21.已知x2−5x=14，求(x−1)(2x−1)−(x+1)2+1的值．22.如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？23.(1)如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边，BC，CD上，∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD．(2)如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF=BE+FD，说明理由．(3)如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F，若BC=8，CD=3，则CE=______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据平方差公式得(2x+1)(2x−1)=4x2−1，所以C错误．故选：C．运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．本题考查了平方差公式，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．故选：C．根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2−b2= (a+b)(a−b)．此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．3.【答案】B【解析】解：∵AB//CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=12∠EFD=12×58°=29°，∵AB//CD，∴∠FGB=180°−∠GFD=151°．故选：B．根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．5.【答案】A【解析】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C(除之C外)相等的角的个数是3，故选：A．由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．此题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC=104°，∴∠BAE=∠CAE=52°，∴①正确；∵∠C=40°，AD⊥BC，∴∠CAD=50°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=52°−50°=2°，∴②正确；∵△AEF是斜三角形，△AED是直角三角形，∴EF≠ED，∴③错误；∵点F为BC的中点，BC，∴BF=12S△ABC，∴S△ABF=12∴④正确；故选：C．由角平分线的定义得到①正确；由∠C=40°，AD⊥BC，∠CAE=52°，得到②正确；由于△AEF和△AED不全等，得到③错误；由于F为BC的中点，根据三角形面积公式得到④正确．本题主要考查了三角形角平分线、高、中线的概念，三角形内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握有关概念和三角形面积公式是解决问题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=65°，故选A．8.【答案】B【解析】【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【解答】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．故选B．9.【答案】D【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，∴4×12ab+(a−b)2=25，∴(a−b)2=25−16=9，∴a−b=3，故选：D．由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．10.【答案】A【解析】解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9−AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．∴32+AE2=(9−AE)2．解得：AE=4cm．∴△ABE的面积为：12×3×4=6(cm2).根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．此题考查了折叠的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．11.【答案】A【解析】解：√64=8，3=2，√8∴√64的立方根是2．故选：A．先求出√64=8，再根据立方根的定义计算即可．本题主要考查了算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．12.【答案】D【解析】解：∵|a|=5，∴a=±5，∵√b2=7，∴b=±7，∵|a+b|=a+b，∴a+b>0，所以当a=5时，b=7时，a−b=5−7=−2，当a=−5时，b=7时，a−b=−5−7=−12，所以a−b的值为−2或−12．故选：D．首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+ b|=a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.也利用了算术平方根的定义．13.【答案】25【解析】解：由题意知：(x+y)2=x2+y2+2xy=1①，(x−y)2=x2+y2−2xy=49②，①+②得：(x+y)2+(x−y)2，=2(x 2+y 2)， =49+1， =50，∴x 2+y 2=25；故答案为：25．根据完全平方公式把(x +y)2和(x −y)2展开，然后相加即可求出x 2+y 2的值． 本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键． 14.【答案】−225【解析】解：∵a −b =b −c =35，∴(a −b)2=925，(b −c)2=925，a −c =65， ∴a 2+b 2−2ab =925，b 2+c 2−2bc =925，a 2+c 2−2ac =3625，∴2(a 2+b 2+c 2)−2(ab +bc +ca)=925+925+3625=5425，∴2−2(ab +bc +ca)=5425，∴1−(ab +bc +ca)=5450， ∴ab +bc +ca =−450=−225．故答案为：−225．先求出a −c 的值，再利用完全平方公式求出(a −b)，(b −c)，(a −c)的平方和，然后代入数据计算即可求解．本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a −b =b −c =35，得到a −c =65，然后对a −b =35，b −c =35，a −c =65三个式子两边平方后相加，化简求解． 15.【答案】2√6+2【解析】解：如图，在BC 上截取BD =AC ，连接OD ．∵∠CAO =90°−∠AHC ，∠OBD =90°−∠OHB ，∠OHB =∠AHC ，∴∠CAO =∠DBO ，∵四边形ABEF 是正方形，∴OA=OB，在△BOD和△AOC中，{BD=AC∠CAO=∠DBO OA=OB，∴△BOD≌△AOC(SAS)，∴OD=OC=2√3，∠BOD=∠AOC，∵∠BOD+∠DOH=90°，∴∠DOH+∠COA=90°，即：∠COD=90°，∴△COD是等腰直角三角形，∴CD=2√6(勾股定理)∴BC=2√6+2．故答案为：2√6+2．在BC上取一点D，使BD=AC=2，连接OD，可证得△BOD≌△AOC，从而得到OD= OC=2√3，再可证△COD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出CD，也就求得BC的长．考查了全等三角形的判定与性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．16.【答案】32或42【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=9；在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=5，∴BC=BD+CD=14或BC=BD−CD=4，∴C△ABC=AB+BC+AC=15+14+13=42或C△ABC=AB+BC+AC=15+4+ 13=32．故答案为：32或42．【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的周长，利用勾股定理结合图形求出BC边的长度是解题的关键．在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出CD的长度，由BC=BD+CD或BC=BD−CD可求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得出△ABC的周长．17.【答案】解：(1)原式=1+4−1=4；(2)原式=4x6y2⋅(−2xy)−8x9y3÷2x2=−8x7y3−4x7y3=−12x7y3；(3)原式=−2n+2n2+1．【解析】(1)原式第一项利用−1的偶次幂法则计算，第二项利用负指数幂法则，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；(2)原式先利用乘方法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算，合并即可得到结果；(3)原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：单项式乘除单项式，多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．18.【答案】解：由2a2+3a−6=0得：2a2+3a=6，原式=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．【解析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=10，BC=16，∴BE=CE=8，在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE=√AC2−CE2=√102−82=6，设BD=x，则DE=8−x，DC=16−x，又DA⊥CA，在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2−AC2，代入为：62+(8−x)2=(16−x)2−102，解得：x=72．即BD=72．【解析】先根据勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8−x，DC=16−x，在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2−AC2，继而代入求出x 的值即可．本题考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题关键是在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2−AC2．20.【答案】(1)①√5−√3；②√5−√3；(2)原式=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√99−√972=√99−12=3√11−12．【解析】解：√5−√3)(5+3)(5−3)=√5−√3)(5)2−(3)2=√5−√3；故答案为：√5−√3；√5+√3=√5)2√3)2√5+√3=√5+√3)(√5−√3)√5+√3=√5−√3；故答案为：√5−√3；(2)见答案．(1)原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；(2)原式各项分母有理化，计算即可得到结果．此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．21.【答案】解：(x−1)(2x−1)−(x+1)2+1，=2x2−x−2x+1−(x2+2x+1)+1，=2x2−x−2x+1−x2−2x−1+1，=x2−5x+1．当x2−5x=14时，原式=(x2−5x)+1=14+1=15．【解析】本题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，要注意整体思想的运用．将所求式子化简，结果为x2−5x+1，再将已知条件整体代入该式即可．22.【答案】解：PE+PF=BH.理由如下：连接AP．∵AB=AC，∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=12AB×PE+12AC×PF=12AC×(PE+PF)，∵S△ABC=12AC×BH，∴PE+PF=BH．【解析】连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC=S△ABP+S△ACP=1 2×AC×(PE+PF)，同时可表示出S△ABC=12AC×BH，从而可得到PE+PF=BH．此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．23.【答案】112【解析】(1)证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：则△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，{AG=AE∠GAF=∠FAE AF=AF，∴△AFG≌△AFE(SAS)．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF；(2)解：∠BAD =2∠EAF.理由如下：如图2所示，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D =180°，∠ABC +∠ABM =180°，∴∠D =∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD∠ABM =∠D BM =DF，∴△ABM≌△ADF(SAS)∴AF =AM ，∠DAF =∠BAM ，∵∠BAD =2∠EAF ，∴∠DAF +∠BAE =∠EAF ，∴∠EAB +∠BAM =∠EAM =∠EAF ，在△FAE 和△MAE 中，{AE =AE∠FAE =∠MAE AF =AM，∴△FAE≌△MAE(SAS)，∴EF =EM =BE +BM =BE +DF ，即EF =BE +DF ；(3)解：∵AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°，AE =AF ，在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，{AB =AD AE =AF， ∴Rt △ABE≌Rt △ADF(HL)，∴BE =DF ，同理：Rt △ACE≌Rt △ACF ，∴CE =CF ，∴BC +CD =BE +CE +CF −DF =2CE ，∵BC =8，CD =3，∴CE =112，故答案为：112．((1)根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE ，则GF =BE +DF ，只要再证明△AFG≌△AFE 即可．(2)延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，证△ADF≌△ABM ，再证△FAE≌△MAE ，即可得出答案；(3)由角平分线的性质得出AE=AF，由HL证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得出BE=DF，同理：Rt△ACE≌Rt△ACF，得出CE=CF，即可得出结论．此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。