中考专题复习（四）压轴题（学生卷）1、(2007宜宾)已知：如图，二次函数y=x2+(2k–1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3.求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.2、（2007 广安）如图，已知抛物线y=－x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。

（1）求点A、B、C的坐标。

（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。

（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3、（07泸洲）如图9，已知直线3:2l y x =及抛物线2:(0)C y ax bx c a =++≠，且抛物x…-2-11234…y … -5 0 3 4 3 0 -5 … (1) 求抛物线C 对应的函数解析式；(2) 求直线l 与抛物线C 的交点A 、B 的坐标；(3) 若动点M 在直线l 上方的抛物线C 上移动，求△ABM 的边AB 上的高h 的最大值。

4、（07成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．yx1 1O5、（07德阳）．如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式； （2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M6、（07巴中）如图12线建立平面直角坐标系，抛物线2y x bx =+有一个公共点．（1）求直线AB 的解析式．（3分）（2）求抛物线2y x bx c =++（3）若点P 为（2）中抛物线上一点，过点是否存在这样的点P ，使PMC ADC △△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（5分）x图127、（07自贡）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y＝x2－2ax＋b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是(a＋c，0)．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）若S△MNP＝3S△NOP，①求cos C的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．8、（07资阳）如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x 轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.9图109、（07绵阳）如图，已知抛物线y= ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．“数形结合”练习1．已知∠AOB＝30︒，C是射线OB上的一点，且OC＝4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是______________．2．对于任意的有理数a，满足a≤x≤a＋10的整数x的个数为_________．3．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下面方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖_______块，第n个图形中需要黑色瓷砖_______块（用含n的代数式表示）.4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当一次函数y＝x＋2与y＝kx－4的图象的交点为整点时，k的值可以取（） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个5．在一直线型航道上，某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时．已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A、C 两地的距离为10千米，则A、B两地间的距离为（）A．20km B．203km C．20km或203km D．以上都不正确6．福娃们在一起探讨研究下面的题目：（1）（2）（3）……函数y ＝x 2－x ＋m （m 为常数）的图象如左图，如果 x ＝a 时，y ＜0；那么x ＝a －1时，函数值 （ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝myxOx 1x 2参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是 （ ）贝贝：我注意到当x ＝0时，y ＝m ＞0．晶晶：我发现图象的对称轴为x ＝12．欢欢：我判断出x 1＜a ＜x 2．迎迎：我认为关键要判断a －1的符号． 妮妮：m 可以取一个特殊的值．7．在数学活动中，小明为了求12＋122＋123＋124＋…＋12n ，的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求12＋122＋123＋124＋…＋12n 的值为_______．12＋122＋（2）请你利用图2，再设计一个能求123＋124＋…＋12n 的值的几何图形．8．如图，在正△ABC 中，AF ＝CE ＝BD ＝13AB ，求证：BD 2＋DF 2＝FC 2．9．探索研究：如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数y ＝14x 2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l 过B （0，－1）且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C ，Q ，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ． （1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形； （3）除P 点外，直线PH 与抛物线y ＝14x 2有无其它公共点？并说明理由．x l Q C P A O B H Ry DCFB A12122 123 124…（图1） （图2）10．小明早晨从家里出发匀速步行去上学．小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在的位置与家的距离为s 千米，且s 与t 之间函数关系的图像如图中的折线段OA —AB 所示．（1）试求折线段OA —AB 所对应的函数关系式； （2）请解释图中线段AB 的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在的位置与家的距离s （千米）与小明出发后的时间t （分钟）之间函数关系的图像．（友情提醒：请对画出的图像用数据作适当的标注）参考答案：1．2＜r ≤4 2．10或11 3．10，3n ＋4 4．B 5．C 6．C7．（1）1－12n ；（2）答案不唯一，只要符合题意即可，略．8．提示：由结论中的等式特征联想到勾股定理，于是证明△BDE 为直角三角形．9．（1）、（2）略；（3）要判断直线PH 与抛物线y ＝14x 2有无其它公共点，只要研究由直线PH 的解析式与抛物线的解析式组成的方程组是否有两组不同的解．10．（1）线段OA 对应的函数关系式为：s ＝112t （0≤t ≤12）；线段AB 对应的函数关系式为：s＝1（12＜t ≤20）． （2）图中线段AB 的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟．（3）如图中折线段CD —DB ．2011年中考数学经典几何证明题（三）1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;图 1 图2 图3BFB ACD EFM NODD(2) 若点E在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥A C的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC, 连结CL，点E是CL上任一点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、ＣH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF，以DF为边在DF的右侧作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；B GAF D E C H ②AF=21BC ；③当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时BDBH 是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时DCEC BC +21是定值；（1）其中正确的是-------------------； （2）对于（1）中的结论加以说明；4. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．5. 如图12，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ ．6. 如图。