讲义【知识梳理】1．角的定义：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．2．角的表示方法：角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．(2)在一个顶点处只有．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示O∠，如图①所示．(3)用小写希腊字母表示，记作α∠，如图①所示．(4)用数学表示单独的一个角，记作1∠，如图①所示．【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：角的大小比较一般有两种方法：(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大 小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒，3045︒<︒，12∴∠<∠(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠． 如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠【例题精讲】例1. 如图，图中共有多少个角？【考点】角的概念与表示．【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB 为始边的角有BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，共1个，所以共有432110+++=（个）． 【答案】10个．【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺时针方向数．也可按逆时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共54102⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.例2. 画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向． 【考点】角的概念与表示，方位角．【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔①所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示．【答案】略．【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理解方位角的概念，正确表示方位角．【巩固测试】1. 观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【考点】角的大比较．【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等，测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒． 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同． 【答案】1∠最大，2∠与3∠相等．【教学建议】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定．角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．2. 已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB ∠和BOC ∠的大小． 【考点】角的大比较．【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；当2AOC ∠在AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.【答案】略．【教学建议】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA 是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.二、尺规作图 【知识梳理】 5．画相等的角： （1）度量法．①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合； ①对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合；①读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．（2）尺规法．6．角的和、差、倍的画法：（1）度量法：用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）的角．（2）尺规作图法．利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧”．作两个角的差的要领是“二合同侧”． 7．角平分线的概念及画法（作法）（1）概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，这时，12AOC BOCAOB ∠=∠∠或2AOB AOC A BOC ∠=∠=∠. （2）画法．①利用量角器画图：量→算→画． ①利用直尺和圆规作图．8．余角、补角的定义．(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角． 9．余角、补角性质．(1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等．(2)补角的性质：同角（或等角）的补角相等．【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关． (2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法． 10．角的度量单位、角的换算及角的分类 (1)角的度量单位是：度、分、秒． 1度的160为1分，记作1'，即160'︒=．1分的160为1秒，记作1''，即160'''=． 【注意】①角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；②1︒的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1︒的角．1周角＝360︒，1平角＝180︒ (2)角的分类：小于90︒的角叫做锐角、等于90︒的角叫做直角、大于90︒小于180︒的角叫做钝角．【例题精讲】例1. 如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使COD β∠=∠.【考点】画相等的角． 【解析】(1)作射线OC ；(2)以β∠的顶点为圆心、取定的长a 半径作弧，分别交β∠的两边于点E 、F （如图①）；① ①(3)以点O 为圆心、a 的长为半径作弧，交OC 于点M ； (4)以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N ；(5)经过点N 作射线OD （如图①）．COD ∠就是所求作的角．【教学建议】教师需先引导学生回顾画相等的角的基本方法和过程，并通过本题进一步熟悉画相等的角的过程．例2. 已知α∠、β∠ (如图所示)，作一个角2AOB αβ∠=∠-∠【考点】画角的和、差、倍．【解析】2AOD ααα∠=∠+∠=∠（二合异侧），2AOB αβ∠=∠-∠ (二合同侧)． 保留作图痕迹线，了解作图的基本语句．结果如图所示．【教学建议】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如2αβ∠-∠的度数，等于两个α∠的度数和再减去β∠的度数．例3. 如图已知α∠，β∠，用直尺和圆规求作一个γ∠，使得12γαβ∠=∠-∠（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】画角的和、差、倍．【解析】如图所示，BCD ∠即为所求作的γ∠．【教学建议】本题先画出12β∠，再画12αβ∠-∠． 例4. 一个角的补角比它的余角的2倍多5︒，求这个角．【考点】余角与补角． 【解析】设这个角为α，则它的补角为180α︒-，余角为90α︒-，依题意得180α︒-＝2(90α︒-)＋5︒，18018025,5ααα︒-=︒-+︒=︒．所以这个角的度数为5︒． 【答案】5︒．【教学建议】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可．例5.如图所示，已知：OC 是AOB ∠的角平分线，OD 是AOC ∠内的一条射线，已知AOD ∠比BOD ∠小30︒，求COD ∠的大小．【考点】余角与补角．【解析】因为OC 是AOB ∠的平分线（已知）．所以AOC BOC ∠=∠ (角平分线的意义) 设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=,根据题意，得BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-， 所以()()30αβαβ+--=︒．解方程，得15β=︒，即15COD ∠=︒．【答案】15COD ∠=︒．【教学建议】根据已知可设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=．则有BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，利用等量关系，30BOD AOD ∠-∠=︒列出式子，即可解出β的度数．例6.如图所示，射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，已知BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒，试用含有m ，n 的式子表示AOF ∠的度数．【考点】余角与补角．【解析】因为射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线(已知)． 所以AOB BOC ∠=∠，DOE EOF ∠=∠（角平分线的意义）． 又因为AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠．所以222()AOF BOC DOE COD BOC DOE COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠. 又因为BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒ (已知)． 所以BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．所以()()222AOF BOC DOE COD m n n m n ∠=∠+∠+∠=-+=-． 【答案】2AOF m n ∠=-．【教学建议】AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠，而射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，因此2AOB BOC BOC ∠+∠=∠，2DOE EOF DOE ∠+∠=∠，那么22AOF BOC DOE COD ∠=∠=∠+∠．由于BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．然后把相关角的式子分别代入，问题就解决了．【巩固测试】1. 如图所示，已知90AOC BOD ∠=∠=︒． (1)AOD ∠与BOC ∠有什么关系？为什么？ (2)若35DOC ∠=︒，则AOB ∠等于多少度？ (3)若150AOB ∠=︒，则DOC ∠等于多少度？【考点】余角与补角．【解析】(1) AOD ∠＝BOC ∠.理由如下：由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，90AOD DOC ∠+∠=︒，90BOC DOC ∠+∠=︒所以AOD ∠＝BOC ∠ (同角的余角相等)． (2)由已知35DOC ∠=︒，所以903555AOD BOC ∠=∠=︒-︒=︒，所以553555145AOB AOD DOC BOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒． (3)由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，150AOB ∠=︒． 所以1509060AOD AOB BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 所以906030DOC AOC AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.【答案】（1）AOD ∠＝BOC ∠；（2）145AOB ∠=；（3）30DOC ∠=︒．【教学建议】此类题比较常见，这个图形可以作为一个基本图形去记忆．第(3)小题也可以这样解：把DOC ∠看作是两个直角AOC ∠和BOD ∠的重叠部分，那么()18015030DOC AOC BOD AOB ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒.课堂练习一、选择题1. 如图，能用∠1，∠ACB ，∠C 三种方法表示同一个角的是（ ）2. 学校M 在小明家N 的北偏东30°的方向，那么小明上学要走的路线可能是（ ）ABCDMMNN MM NN3. 如图所示，已知①AOB ＝64°，OA 1平分①AOB ，OA 2平分①AOA 1，OA 3平分①AOA 2，OA 4平分①AOA 3，则①AOA 4的大小为（ ）AB C 1A B DCAB CAB CD111A BCD课后作业1、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=1400，则∠DOC的度数是（）A、300B、400C、500D、6002、一副三角尺可拼成很多角，如下图是由一副三角尺拼成的2个图形，请你计算：在第一个图中：∠ACD= °，∠ABD= °；在第二个图中：∠BAG= °，∠AGC= °。