采用分离变量法求解，设 (r, z) (r)Z(z)
1
(r)
d
2 (r )
dr 2
1 r
d (r )
dr
1 Z(z)
d
2Z(z) dz2
Bg2
令左端每一项均等于常数，有
1 (r)
d
2 (r ) dr 2
1 r
d(r)
dr
Br2
1 Z(z)
d
2Z (z) dz2
Bz2
Bg2 Br2 Bz2
➢几何曲率的大小反映中子泄漏的程度
➢材料曲率等于几何曲率说明：当多余的中 子产生率正好被泄漏率抵消时，系统正好 处于平衡态－临界状态。
Bm
k 1 L2
Bg2
25
问题
• 当材料曲率小于几何曲率时，反应堆处于 什么状态？
• 当材料曲率大于几何曲率时，反应堆处于 什么状态？
26
例题
• 计算纯铀235金属球的临界尺寸。已知：
(x,t)
n1
An'
cos
(2n
a
1)
xe(kn 1)t /ln
三种情况：
1. 对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若B12对应的k1<1，则其余的
kn都将小于1，则(kn-1)为负值，(x,t)将随时间 t按指数规律衰减，系统
为次临界状态。 2. 若k1 >1，则(k1-1)为正值，中子通量密度(x,t)将随时间不断增加，系
22
5.反应堆曲率和临界计算任务
稳态反应堆内中子通量密度的空间分布满足波动方程
2(r) Bg2(r) 0
最小特征值Bg2，称为几何曲率，对于裸堆，其与反应堆的几何形状及尺 寸大小有关，而与反应堆的材料成分和性质没有关系。
k、L2等参数仅仅取决于反应堆芯部材料特性，对于一定材料成分的 反应堆，便有一个确定的B2值能满足临界方程，我们称为材料曲率，记
堆内里所有中子都是热中子。 ➢ 热中子不能再慢化了，故方程非常简单，只需考
虑中子的产生、吸收和泄漏。
9
对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反应堆系统，单位时 间、单位体积内的裂变中子源强为：
SF (r,t) f (r,t)
根据无限介质增殖因子定义
SF (r,t) ka(r,t)
代入单群中子扩散方程可得
R
r
r
(4-25)
18
2. 有限高圆柱体反应堆
最常见的反应堆形状。中子通量密度只取决于r和z两个变量
2 (r ,
r 2
z)
1 r
(r ,
r
z)
2 (r ,
z 2
z)
Bg2
(r,
z)
0
(4-26)
边界条件是：
(1) 中子通量密度在堆内各处均为有限值 (2) 当r=R或z=±H/2时，(r,z)=0。
(r) AJ0 (Brr)
20
利用边界条件(2)，有
(R) AJ0 (Br R) 0
因而
Br2
2.405 2
R
(r)
AJ 0 (Brr)
AJ
0
2.405 R
r
求解(4-28)可得
Z (z) F cos Bz z
其中
Bz2
H
2
圆柱裸堆的几何曲率为
Bg2
Br2
Bz2
2.405 2
1
( x, t )
t
D2 ( x, t )
a ( x, t )
ka ( x, t )
初始条件为 边界条件为
(x,0) 0 (x)
(a ,t) ( a ,t) 0
2
2
(4-3) (4-4) (4-5)
0
x
a/2 a/2
无限平板反应堆
由式(4-3)得
1
D
( x, t )
t
2(x,t)
kL2 1 ( x, t )
3
➢在反应堆临界理论中，主要研究两方面的问题： 各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）:
e.g., 临界时系统的体积大小(临界体积)和燃料成分（富集 度）及其装载量（临界质量）。 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。
4
➢实际的反应堆系统
物理过程与中子能量 的复杂依赖关系 “分群理论”
(4-6)
利用分离变量法求解，方程具有如下形式的解：
将(4-7)式代入(4-6)式
(x,t) (x)T(t)
2 ( x) (x)
1
DT (t)
dT (t) dt
k 1 L2
(4-7)
(4-8)
11
上式两端必须等于某一常数，设为-B2，有
2(x) B2
或
2(x) B2(x) 0
(x)
(4-9)
?
?
?
?
1
(r, t )
t
D2 (r, t )
a (r, t )
ka (r, t )
S0 (r, t)
D及 a是对中子能谱平均后的数值； 在反应堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为 裂变中子是反应堆内中子的唯一来源
10
2.均匀裸堆的单群扩散方程的解
无外源无限平板反应堆单群扩散方程
k1
1
k
L2 (
)2
1
a
(4-19)
若系统材料组成给定，则只有一个唯一的尺寸a0能使k1=1，即为临界大小； 当a>a0时，则k1>1，为超临界；当a<a0时，k1<1，系统处于次临界。
另一方面，若反应堆尺寸a给定，则必然可以找到一种燃料富集度(材料组 成)，使得由其所确定的k及L2值能使(4-19)式成立，使k1=1，系统处于临界。
作Bm2。对于单群扩散理论，有
Bm2
k 1 L2
(4-44)
23
临界条件可写为：
Bm2= Bg2
(4-45)
对于裸堆，可将临界条件写成
k L2
1
R
2
(球形裸堆)
(4-46)
k 1 L2
H
2
2.405 R
2
(圆柱体裸堆)
(4-47)
24
物理解释：
➢ 材料曲率反映堆内中子产生率高出吸收率 的程度
dV
V
1
1 L2
Bg2
(4-21)
k k 1 则裸堆单群近似的临界条件(4-17)可写为 1
17
4.几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布
1. 球形反应堆
d
2 (r )
dr 2
2 r
d (r )
dr
Bg2 (r )
0
(4-22)
普遍解为
(r) C sin Bgr E cos Bgr
k1
1
k L2
B12
1
(4-17)
B12为波动方程的最小特征值，记为Bg2，称为特征曲率；k1为有效增殖因 子。
(2) 反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值Bg2对应的基波函 数分布，也就是说，稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程
2(r) Bg2(r) 0
(4-18)
15
无限平板反应堆的临界条件为
其他的都是非均匀堆，堆芯中的燃料和慢化剂是分开
的，不混在一起。 Why? 既然如此，为何还要研究均匀反应堆？
6
1. 均匀堆比较容易描述，建立的物理－数学模型 比较简单。但是，从中引出的基本概念有普遍 应用价值。
2. 工程设计中，对实际的非均匀反应堆进行分析 时，也要先进行 “均匀化”，化为均匀堆。
r
r
(4-23)
根据边界条件：当r→0时中子通量密度为有限值，常数E必须为零，可得
(r) C sin Bgr r
根据边界条件(R)=0的要求，必须使BgR=n, n=1, 2, 3, …。对应于最小特征值，几
何曲率为
Bg2
R
2
(4-24)
与此对应的临界反应堆内的中子通量密度分布为
(r)
C
sin
统处于超临界状态。 3. 若调整堆芯尺寸或改变材料成分，使k1 =1，则其余(kn-1)都将为负值。
中子通量密度(x,t)第一项将与时间无关，而其它各项将随时间而衰减。 当时间足够长时，n>1各项将衰减到零，系统处于稳态，中子通量密度 按基波形式(B=B1)分布，系统处于临界状态。
14
重要结论：
(1) 裸堆单群近似的临界条件为：
波动方程(4-9)式的通解为
(x) AcosBx C sin Bx
由于初始通量密度分布0(x)关于x=0平面对称，因此只能选择满足对称条件的解，即
(x) AcosBx
由边界条件(4-5)式可导出(x)满足如下的边界条件：(±a/2)=0
因此要求
Bn
n
a
Acos Ba 0 2
n 1,3,5,
或
如果假设(4-27)式右端等于一正数，则它将化为一 个零阶修改贝塞尔方程
x2
d
2 ( x)
dx2
x
d ( x)
dx
x 2 ( x)
0
其普遍解为 r A'I0 (Brr) E'K0 (Brr)
(4-31)
零阶贝塞尔函数曲线
其中I0、K0分别为第一类及第二类零阶修正贝塞尔函数。根据边界条件(1)和(2)看出， Y0、I0及K0均应从上述解中消去。因此方程(4-27)的解为
R
H
2
其中Br2径向几何曲率，Bz2周向几何曲率。
(r,
z)
CJ0 (Brr) cos(Bz z)