随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ ： 2012年5月8日星期二 年 月 日星期二
习题1 习题1
病人以每小时3人的泊松流到达医院， 病人以每小时3人的泊松流到达医院，假 设该医院只有一个医生服务， 设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服 从负指数分布， 从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为 15分钟 分钟。 15分钟。 医生空闲时间的比例？ （a) 医生空闲时间的比例？ 有多少病人等待看医生？ （b) 有多少病人等待看医生？ 病人的平均等待时间？ （c) 病人的平均等待时间？ 一个病人等待超过一个小时的概率？ (d) 一个病人等待超过一个小时的概率？
m i 1 m i m ⋅ m! p 0 = ∑ ρ + ∑ i−c ρ + c! i = c c c! i = 0 i!
c −1 i K −1 i K
1− 1 1 1 1+ 1
K+ m
1 i ∑ c i−c (m − i + K )! ρ i=K
−1
−1
1 1 i 1 ⋅ 1! 1 1 i = ∑ ( ) + ∑ 1i−1 (1 − i + 1)! ( 3 ) 1! i =1 i = 0 i! 3
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解
单位时间内的纯收入为
(1 − ρ)ρK f = 8λ(1 − pK ) − 5µ = 8λ(1 − ) − 5µ k+1 1− ρ
方案I 方案I(λ＝10人/小时，μ＝30人/小时，K＝3)： 10人 小时， 30人 小时，
(1 − 1 3)(1 3)3 f = 8 ×10 × (1 − ) − 5 × 30 = −72 4 1 − (1 3)
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习题5 习题5
某电视台有2 部发射机， 部发射1 部备用。 某电视台有 2 部发射机 ， 1 部发射 1 部备用 。 如果1 部正常工作时间服从负指数分布， 平均9 如果 1 部正常工作时间服从负指数分布 ， 平均 9 而调整维修1部机器的是负指数分布的， 天，而调整维修1部机器的是负指数分布的，平 均3天。求无备用机而正常运转的概率和由于停 机无法发射的概率。 机无法发射的概率。
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−1
习题3 习题3
考虑一个M/M/1/K排队系统， λ＝10人/小 排队系统， ＝ 人 小 考虑一个 排队系统 小时， ＝ 。 时，µ＝30人/小时，K＝2。管理者想改进服务 ＝ 人 小时 机构， 提出了两个方案。 方案I： 机构 ， 提出了两个方案 。 方案 ： 增加等待空 K＝3；方案II：提高服务率，µ＝40人/小 间，K＝3；方案II：提高服务率，µ＝40人/小 假设在单位时间内单位服务成本5元和每 时 。 假设在单位时间内单位服务成本 元和每 服务一个顾客收益8元不变得情况下 元不变得情况下， 服务一个顾客收益 元不变得情况下 ， 哪个方 案获得更大的收益？ 小时， 案获得更大的收益？当λ＝30人/小时，又有什 ＝ 人 小时 么结果？ 么结果？
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解
由题设知， 5(题 小时) 3(题 小时) 由题设知， λ＝5(题/小时)，µ＝3(题/小时)，c＝2，
该系统按M/M/c/∞型处理。 该系统按M/M/c/∞型处理。ρ = 5 3 , ρc = 5 6 M/M/c/
2 −1 ρj cρc (5 3) j 2 ⋅ (5 3)2 −1 p 0 = [∑ + ]−1 = [∑ ] + c!(c − ρ) j! 2!⋅ (2 − 5 3) j= 0 j! j= 0
m! i = ∑ ρ i = 0 ( m − i )!
m −1
1! 1 i ( ) = ∑ i = 0 (1 − i )! 3
1
−1
3 = = 0.75 4
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解( 续)
对M/M/1/1+1/1型系统 M/M/1/1+1/1型系统 1+1/1
方案II( 方案II(λ＝10人/小时，μ＝40人/小时，K＝2): II 10人 小时， 40人 小时，
(1 − 1 4)(1 4)2 f = 8 ×10 × (1 − ) − 5 × 40 = −123.8 3 1 − (1 4)
故方案I比方案II好。 方案I 方案II好 II
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解
方案1 9/5(个 分钟) 4(个 分钟), 方案1 λ＝9/5(个/分钟)，µ＝4(个/分钟), 9/20＜ 该系统按M/M/1/ 型处理， M/M/1/∞型处理 ρ＝9/20＜1，该系统按M/M/1/ 型处理，平均等 待时间
(1 − 3 4)(3 4)2 f = 8 × 30 × (1 − ) − 5 × 40 = −31.35 3 1 − (3 4)
比方案II好 故方案I比方案 好。 方案 比方案
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习题4 习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。 某系统利用2台计算机进行容错处理。 如果1 如果 1 台计算机正常工作时间服从负指数 分布， 平均10 天 ， 而计算机损坏时由1 名 分布 ， 平均 10天 而计算机损坏时由 1 10 工程师维修， 维修 1 台计算机的时间是负 工程师维修 ， 维修1 指数分布的，平均5 指数分布的，平均5 天。求：2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
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解
由题设知， 3(人 小时) 4(人 小时) 由题设知， λ＝3(人/小时)，µ＝4(人/小时)，ρ
3 该系统按M/M/ M/M/1 型处理。 ＝ ，该系统按M/M/1/∞型处理。 4
1 P{医生空闲 医生空闲} P{系统空闲 系统空闲} a) P{医生空闲}＝P{系统空闲}＝p0＝1－ρ＝ 4
m! i = ∑ ρ i = 0 ( m − i )!
m −1
2! 1 i ( ) = ∑ i = 0 ( 2 − i )! 2
2
−1
2 = = 0.4 5
P{计算机损坏无法运行 ＝p2 计算机损坏无法运行}＝ 计算机损坏无法运行
= 2! 1 2! 1 ( )2 p0 = ( ) 2 × 0.4 = 0.2 ( 2 − 2)! 2 ( 2 − 2)! 2
9 1 1 2 = 1 + + ( ) = ≈ 0.6923 13 3 3
−1
P{由于停机无法发射 ＝p2 由于停机无法发射}＝ 由于停机无法发射
11 ⋅ 1! 1 2 9 1 ( ) × = = ≈ 0.0769 2 −1 (1 − 2 + 1)!⋅ 1 ⋅ 1! 3 13 13
＝0.25。 25。 ρ2 (3 / 4)2 9 b) 平均等待对长 Nq = = = = 2.25
1− ρ 1− 3/ 4 4
即平均有2 25个病人等待看医生 即平均有2.25个病人等待看医生
3/4 3 ρ = = = 0.75 c) 平均等待时间 Wq = µ(1 − ρ ) 4(1 − 3 / 4) 4
3 − 4 ( 1− 4 ) 3 − 1 = e = e 4 4
3
≈0.276 即病人等待超过一个小时的概率约为0 276。 即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。
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习题2 习题2
一台计算机有2 个终端， 一台计算机有 2 个终端 ， 假定计算一个题目 的时间服从负指数分布，平均20分钟。 20分钟 的时间服从负指数分布，平均20分钟。假定题目 是以泊松流到达， 平均每小时到达5 是以泊松流到达 ， 平均每小时到达 5 个 。 求积压 题目的概率及平均积压的题目数。 题目的概率及平均积压的题目数。
解( 续)
小时： 当λ＝30人/小时： ＝ 人 小时 方案I(λ＝ 人 小时 小时， ＝ 人 小时 小时， ＝ ： 方案 ＝30人/小时，µ＝30人/小时，K＝3)：
1 f = 8λ(1 − pK ) − 5µ = 8 × 30 × (1 − ) − 5 × 30 = 30 3+1
方案II(λ＝30人/小时，µ＝40人/小时，K＝2): ＝ 人 小时 小时， ＝ 人 小时 小时， ＝ 方案
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解
由题设知， 由题设知，λ＝1/9(台/天)， µ＝1/3(台/天)，ρ 型处理， ＝ ， ＝ 1/3， 该系统按 ， 该系统按M/M/c/m+k/m型处理 ， c＝ 1， 型处理 m＝1，k＝1。 ＝ ， ＝ 。 若无备用机器， 即 K＝ 0， 化为M/M/c/m/m 若无备用机器 ， ＝ ， 化为 型系统： 型系统： P{无备用机而正常运转 ＝p0 无备用机而正常运转}＝ 无备用机而正常运转
即病人的平均等待时间为0 75小时 小时， 45分钟 分钟。 即病人的平均等待时间为 0.75 小时 ， 即 45 分钟 。
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解( 续)
P{等待超过一个小时 等待超过一个小时} d) P{等待超过一个小时} ＝P{Wq＞1} ＝1－P{Wq≤1} ＝1 －W q( 1 ) ＝ρe-µ(1-ρ)