第三种是当t时刻有n-1个顾客，t+Δt时刻来了一位新的顾客无顾客被服务后离去，其概率为
Pn-1(t)λΔt(1-μΔt)
第三种是当t时刻有n+1个顾客，t+Δt时刻无新的顾客有一位顾客被服务后离去，其概率为
Pn+1(t)(1-λΔt)μΔt
综上所述，Pn(t+Δt)=Pn(t)(1-λΔt)(1-μΔt)+Pn(t)λΔtμΔt+Pn-1(t)λΔt(1-μΔt)+Pn+1(t)(1-λΔt)μΔt。此方程中令Δt→0，两边同时除上Δt就得到微分方程
平稳性：到达k个顾客的概率只和顾客到达的时间间隔t有关，与起始时刻无关。
无后效性：顾客到达的时刻无相独立
疏稀性：在无限小的时间间隔内，到达两个及以上顾客的概率为0，且在有限时间区间内到达的顾客数是有限的。
上面说做的假设，可以保证顾客到达的时间间隔t为指数分布的随机变量，在现实生活中的排队系统里上述假设也是成立或者近似成立的。
一种最基本的排队模型，标准的M/M/1模型，满足以下的约束条件：
输入过程满足顾客源是无限的，顾客的到来相互独立，一定时间间隔内达到的顾客数服从泊松分布，且Δ到达过程已是平稳的。同时队列要求只有一队，队列认为是无限长的，先来先服务。单个服务台，各顾客的服务时间是相互独立的，且服从相同的指数分布，顾客到达的间隔时间与服务时间是相互独立的。
首先设系统在时刻t处有n个顾客的概率Pn(t)，它刻画了系统运行的状态，从前面得知到达规律服从参数为λ的泊松过程，服务时间服从参数为μ的负指数分布。
所以在[t,t+Δt)时间内可分为如下情况:
a有一个顾客到达的概率为λΔt+o(Δt);
没有顾客到达的概率为1-λΔt+o(Δt);
b当有顾客在接受服务时1个顾客被服务完成离去的概率为μΔt+o(Δt);
在我们的日常生活中，常常遇到资源有限而需要按一定规则排队的情况，例如到超市购物付款，买火车票，数据的传输，电路交换等等，资源的有限性以及服务的随机性是排队现象存在的基础，研究这一类问题具有普遍意义。数学中，通过随机过程分析来研究排队问题的方法论称为排队论，本文就是利用数学的随机过程理论来分析排队问题，讲述最基本的排队模型，标准的M/M/1模型，分析代表其系统运行情况的指标。
LS=λWs
t的概率密度函数为a(t)=λ 式中的λ是顾客的到达率。
可以证明在T时间间隔内，有k个顾客到达的概率符合泊松分布：
Pk(T)=
由于已经说明两个顾客服务所需的时间是互不相关的，平稳的，疏稀的，则服务时间 的分布也服从指数分布
b( )=μ
类似的，在T时间内，有k个顾客被服务后离去的概率为
Qk(T)=
有了这些基础后，下面开始介绍一种基本的排队模型。
没有顾客离去的概率为1-μΔt+o(Δt);
c多于一个顾客的到达或离去的概率是o(Δt)可以忽略。
所以在时刻t+Δt处系统中有n个顾客（n > 0）的情况可分为下列四种：
第一种是当t时刻有n个顾客，t+Δt时刻既无新的顾客到来也无顾客被服务后离去，其概率为Pn(t)(1-λΔt)(1-μΔt)
第二种是当t时刻有n个顾客，t+Δt时刻来了一位新的顾客又有一位顾客被服务后离去，其概率为Pn(t)λΔtμΔt
即：
当n为0时，P0(t+Δt)=P1(t)(1-λΔt)μΔt+P0(t)(1-λΔt)
即：
结合实际应用，一般只关注上述微分方程的稳态解。此时 与时间t无关，故其微分为0，这样就得到了下面的方程组：
这个差分方程描述了各状态之间的转移关系
状态0转移到状态1的转移率为λP0，状态1转移到状态0的转移率为μP1且必须满足
Lq=E(n-1)= =
顾客在系统中逗留时间的期望值Ws:
逗留时间W随机变量在M/M/1情形下服从参数为μ-λ的指数分布即:
f(w)=(μ-λ) w
Ws=E(w)=1/(μ-λ)
在队列中顾客等待时间的期望值Wq:
Wq=Ws-1/μ= =
再对上面的公式进行进一步的总结，得到各运行参数间的相互关系Little公式：
λP0=μP1；同样的 n>0;
得到 P0, P0。。。 P0
令ρ= /μ，实际情况中ρ<1，否则系统部稳定，排队的人会越来越多，队列将变得无限长。因为 =1， P0，所以能解出
这就是在稳定时刻，到达顾客数为n的概率。
在系统中的平均顾客数系统队长的期望值LS:
LS期望值Lq:
排队系统一般来说是由等待资源的顾客和提供服务的服务员构成，由于顾客的到达与服务完毕的时间是不确定的，所以排队系统存在随机性。为了既能保证服务质量又不浪费服务资源，人们在随机过程的基础上发展起来了一种数学方法—排队论。
任何排队系统都有三个基本参数，服务员的数目也称窗口数m，顾客的到达速率λ，系统的服务速率μ。除此之外，为了很好的描述系统的运行状态，还要研究顾客到达的时间间隔ti，以及服务时间 i的统计分布和排队规则。最常用的方法也是比较合适的方法是认为它们服从指数分布，因为指数分布具有无记忆性，与现实中的一大类情况相似，并且使得排队过程称为马尔可夫过程。所以要对排列规则做如下的假设：