课题数学思想方法专题复习20 年月日A4打印/ 可编辑课题：数学思想方法专题复习数形结合的思想宜昌市第一中学周继业一、教学设计1.教学内容解析高考《考试说明》在命题指导思想和命题原则中明确指出：“注重通性通法，强调考查数学思想方法”，并明确了“数学思想方法属方法范畴，但更多的带有思想、观点的属性，属于较高层次的提炼与概括”，而且把“数形结合的思想”作为所要考查的七种基本数学思想之一，纳入重点考查对象.数形结合的思想贯穿整个高中数学的教学.本课是高三学生经过第一轮教材基础知识梳理后，在第二轮复习中关于数学思想方法的专题复习课.授课内容包含建系以数辅形、构造以形助数和转化数形互助三种结合方式，其目的是为了加强学生对数形结合思想的理解和应用，使学生能够通过数学问题的条件和结论的联系分析其代数含义和几何意义，提高学生运用图形、构造图形的能力，增强学生胸中有图、见数想图的意识.考虑到二轮专题复习回归教材的必要性，本课围绕人教版必修2中阅读材料为情景引入，紧扣数形结合思想内涵展开探究，由情景生成新的问题设问推进，层层深入实现思想建构.为系统展示数形结合思想及其应用的普遍性和重要性，改编题主要以线性规划、平面向量、函数、方程、不等式和解析几何等典型问题作为探究点，兼顾课本知识整合.根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：分析数学问题的代数含义和几何意义，由数思形解决问题；回顾涉及数形结合思想的知识点，完成思想建构.2、学生学情诊断本节课为数学思想方法的专题复习，涉及面广，分布零散，问题形式多样且难易兼备，因此学生容易以点盖面，以偏概全.数形结合思想渗透在中小学数学教材的各个章节，学生一向是以感受为主，经验为重，尚未系统整理建构，所以突破学生对数形结合思想理解上的局限性，站在思想方法的高度重新认识数形结合思想，在学生思维中留下一条清晰的认知线索为本节课成功的关键.二轮复习中，学生对线性规划知识和平面向量的坐标法接受起来相对容易，可以顺利实现以数辅形，但在中学数学的主体知识（函数、方程、不等式）中合理构造图形解决代数问题还是较难.在“探究二”中由2012年北京高考题设计了由两个不同初等函数组成的超越方程，让学生自然产生由数到形、以形助数的想法并完成求解，为凸显复习知识的深度和对学生思维训练的强度，设计的不等式问题将成为学生的难点，难在含有量词和逻辑联结词的处理，还有由数到形的等价性问题，此处要通过小组讨论、学生展示、几何画板演示进行突破.为体现“数”与“形”在本质上的相互渗透而设计“探究三”，让学生体会由形到数、由数到形的过程，帮助学生完善对数形结合思想的理解.根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：根据代数问题的几何含义构造图形，并借助图形特征找出处理问题的充要条件；运用数形结合思想方法时遵循等价性、简单性原则.3.教学标准设置（1）通过由情景生成的四个问题探究，让学生体会数形结合的三种途径，培养学生将复杂的数量关系自觉转化为直观的几何图形来解决问题的能力.（2）明确数形结合思想所涉及的知识点，能够胸中有图、见数想图.（3）借助几何画板演示，通过小组合作交流再展示的方式，让学生经历“数”的抽象和“形”的直观相互转化的过程，感受数学活动的探索性、创造性和数学的美感.4.教学策略分析本节课为数学思想专题复习课.本着“学生主体、教师主导”的设计理念，以故事“魔术师的地毯”的情景为明线，以数形结合方式为主线，以数形结合思想建构为暗线，根据真题改编了适合学生认知的问题，激发了学生的探究热情.教学过程以独立思考、小组合作研讨、动画演示和问题串为驱动方式，达到建构数形结合思想的目的，环节清晰，衔接流畅.首先以魔术师设计图中的“重叠区域”自然过渡到线性规划、平面向量知识，让学生体会通过建系以数辅形是数形结合的一种方式，并在此基础上回顾中学教材中用代数方法研究几何图形的相关知识，起到温故知新的复习效果；其次以魔术师的设计图为背景，创设了函数的零点、不等式恒成立等问题，提升学生思维，让学生从代数含义和几何含义分别入手，体验用图形解决代数问题的简易和直观，从而提升学生自觉用图、构图的意识；第三是从从魔术师的设计图出发创设了解析几何背景下的点的轨迹和三角形周长的最值问题，并借助几何画板动静结合，实现由形到数、由数到形的转化.通过小组合作交流再展示的方式，突出学生的主体地位，让学生在活跃的氛围和动态的图形中寻找代数问题的突破口，达到突破难点的目的.教学流程：二、课堂实录【故事内容】魔术师的地毯（人教社A版必修2第90页“探究与发现”）魔术师拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找敬师傅（图1），要求把这块正方形的地毯改制成宽0.8米、长2.1米的矩形.敬师傅对魔术师说：“边长为1.3米的正方形的面积为1.69平方米，而宽0.8米、长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者不相等，除非裁去0.01平方米，不然没法做.”魔术师拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图2）的尺寸把地毯裁成四块，然后再照另一张图（图3）把这四块拼在一起缝好就行了.敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米、长2.1米.魔术师拿着改好的地毯走了，而敬师傅还是想不通那0.01平方米的地毯去哪儿了呢？你能揭开这个魔术的谜底吗？(一) 建系----以数辅形1.故事布疑---回归教材开篇师：同学们，你能揭开这个魔术的谜底吗？生：，即三点不在一条线上，设计图（3）不对.师：很好.我们判定三点是否共线还会用到什么方法？生：用其中两点连线的斜率是否相等来判定三点是否共线.师：好的，斜率需要坐标，那我们应该先建系，长方形中如何建系？ 生：以N 为坐标原点，NA 为X 轴建立直角坐标系.师：很好，请看大屏幕.在坐标系下，不仅可以解释三点不共线，还可以发现.可是那0.01平方米的地毯究竟去哪儿了呢？生：失去的0.01平方米地毯，就在长方形的对角线附近，被拉成了一个细长的平行四边形重叠区域.师：回答的非常好.魔术师正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法是逃不过精确的数学计算的.数和形是数学研究的基本对象，今天我们就开始数学思想方法专题复习之数形结合的思想.【评析】激活教材阅读材料，让学生用所学的知识解决图形中的问题，体会学以致用的乐趣并揭示本节课的主题.通过斜率解释点不共线，并得到线线平行，为“探究一”中的问题做铺垫.2.线性规划---动点坐标刻画问题1：在魔术师设计图中的“重叠区域”内（含边界）有一动点.请在适当的坐标系下，写出动点坐标满足的约束条件. 【问题探究】 生：.师：我们成功地用二元一次不等组这一数的手段刻画出动点所在的平面区域，在平面区域中我们可以解决目标函数最值、范围等相关问题，这是我们学过的什么知识？ 生：线性规划.【评析】回顾线性规划知识，感受图形与数量的关系.3.平面向量---对比研讨呈现问题2：（2012年江苏题改编）在魔术师设计的长方形边上有一动点，边的中点为E （如右图）.若，则.【问题探究】 生1：. 生2：以为坐标原点建系，根据，求出点的坐标为，再由坐标运算得到结果为.师：大家认为哪一种方法更好？ 生：第二种.师：看来在此问题中坐标法要优于几何法.平面向量具有数和形两个特点，是数形结合的典范. 【评析】回顾平面向量的坐标法，增强识图、用图的意识. 师：我们学过的哪些几何问题是可以借助代数方法解决的？ 生：解析几何、立体几何、函数图像、平面向量、斜三角形等. 师：几何问题是通过什么工具转化为代数问题的？ 生：通过建立坐标系.师：建系以数辅形可以将几何问题代数化，那么代数问题怎样几何化呢？请看探究二.【评析】通过“问题串”的方式推进，使学生感受到数形结合思想应用的普遍性，自然过渡.(二) 构造----以形助数4.函数零点----见数思形转化（2012年北京题改编）若魔术师设计图中正方形的边长为，其面积为，组成长方形区域的面积为，设直角梯形的上底为（上底小于下底），令函数,其定义域为.问题3：当时，函数无零点，求实数的取值范围.【问题探究】师：请一位同学写出的解析式.生：师：函数零点的代数含义是什么？生：方程的根.师：函数零点的几何含义是什么？生：函数与函数图象交点的横坐标.师：回答的很好.（学生画图象并展示解题过程）【评析】对比研讨，学生主动构图解决函数零点问题，培养学生自觉运用数形结合思想的解题意识.5.不等关系---图形优势凸显（2012年北京题改编）若魔术师设计图中正方形的边长为，其面积为，组成长方形区域的面积为，设直角梯形的上底为（上底小于下底），令函数,其定义域为.问题4：设函数，若，求的取值范围.【问题探究】师：“”的代数含义是什么？生：有三种情况：（1）；（2）；（3）.师：好的.那它的几何含义呢？生：，函数与函数的图象至少有一个处于的下方.师：通过探究二你获得了哪些知识？生：代数问题是抽象的、几何图形是直观的.生：可以借助数形结合思想提高解题速度.生：化虚为实，化繁为简.师：说的非常好.以形助数是数形结合的重点，通过图形使得抽象问题具体化，达到优化解题途径的目的.这就要求大家运用图形、构造图形的意识要加强，能够触景生“形”，借助图形特征寻找代数问题的等价条件.在“探究一”中通过建系以数辅形，在“探究二”中通过构造以形助数，其实在更多时候，“数”和“形”是相互渗透不分彼此的，请看探究三.【评析】从学生容易接受、理解和知识建构的角度出发，精心设计与数形结合相关的问题，引导学生将复杂问题简单化、抽象问题具体化，拓展了解题思路。

在专题复习中，引导和鼓励学生在课堂上交流对话，主动参与到知识模块的建构，用已有知识为教学服务.(三)转化----数形互助6.最值问题---数形渗透不离问题5：（2008年海南、宁夏题改编）定点在魔术师设计的长方形内部，满足，动点在长方形所在平面上运动，且点到点的距离与其到边的距离之差为8，求周长的最小值.【问题探究】师：哪位同学能够简述一下解题思路？生：以为坐标原点建系，解得动点的轨迹方程为，而，所以当共线时，得到周长的最小值为17.师：该题中数和形的转化过程是怎样的？生：先由形到数，再由数到形.师：通过这节课的学习，你是怎样理解数形结合思想的？生：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式和谐地结合起来，并充分利用这种结合寻找更简的解题途径.师：看来，运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合.【评析】不同角度有效地领悟数形结合思想，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”的过程，把复习课提高到由例到类的层次，真正实现专题复习的科学与高效.7.思想建构---目标高效达成师：请根据第二轮复习的八个知识专题，将涉及到数形结合思想的典型知识点进行归类.（学生填写知识梳理表、完成思想建构图）【评析】通过知识框图，帮助学生更好的形成知识体系，构建知识网络，自觉内化数形结合思想，同时引起学生多角度、多层次、全方位的反思.8.经典名言---内涵文化俱现【结束语】今天我们在魔术师的设计图中见证了数与形的完美结合，这不是魔术师的魔法，而是“数”与“形”本质的相互呼应.最后，用著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想的一句话结束今天愉快的课堂，数形结合百般好，隔离分家万事休！致敬华罗庚先生！9.专题演练1．（2013年天津卷）函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42.（2013年湖南高考题改编）设向量都是单位向量，且，则的最小值为（）A． B． C． D．3. (2012年浙江卷) 设，若时均有，则= .4.（人教版(必修2)）已知，求证：，并求使等式成立的条件.【评析】源于教材课后习题和高考真题，提升学生运用数形结合思想能力的同时，继续强调二轮复习时回归教材的必要性.三、课后反思古训道：“学起于思，思源于疑”，学贵在疑.而创设问题情境教学是激发学生学习兴趣、培养学生善于思维、学会学习能力的有效手段. 本课将知识问题化，问题情景化，在探究过程中主动提炼，再联知成网，既较好的兼顾了数形结合思想内涵和相关知识的建构，又体现了“学生主体、教师主导”的新课程理念.这节课后，我个人觉得在以下四个方面有所收获：选择了教材故事为探究背景.在利用精确的数学计算揭开魔术谜底后，借用魔术师的设计图创设问题，源于教材而又不拘泥于教材，符合学生认知，直指思想内涵，因此能够有效调动学生。