承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：2418所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.黎仕东2.李兆海3.赵甜森指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期：年 8 月25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：机器人避障问题模型摘要本文主要论述的是在一定区域里，在12种障碍物的情况下，机器人通过直线行走和圆弧转弯，绕过障碍物，到达各目标点的最短路径距离，以及到达A点最短时间的问题。

本文将路径划分为若干个直线与圆弧结构来求解。

而对于途中绕过障碍物到达目标点，我们分成了两种情况，一种是在所有转弯处均采用最小转弯半径，另一种是在个别转弯处适当扩大转弯半径，使得机器人能够顺利的通过拐弯处，到达目标点。

然后再这两种情况下建立数学模型进行求解。

问题一，将各路径分成直线与圆弧的结构进行求解，利用MATLAB软件，同时结合 CAD 软件计算出两点之间存在的所有最短路径，然后进行整理，利用平面几何方法建立最短路程的模型，最后求得最短路径的最优解并表示出来，结果是：O→A 最短路径为：L=470.7314O→B 最短路径为：L=852.7121O→C 最短路径为：L=1135.0452O→A→B→C→O 最短路径为：L=1886.1493问题二，我们研究的情形是当绕过障碍物处的拐点为圆心，圆心固定，半径变化时，我们可以利用平面几何方法建立时间与半径之间的函数关系，得出最优解，当R=10.682 时，到A点最短时间路径T=97.1698关键词：最短路径;平面几何;MATLAB;AutoCAD;最优化模型1 问题重述图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。

图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。

规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。

机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。

为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。

机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。

机器人转弯时，最大转弯速度为21.0100e1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。

如果超过该速度，机器人将发生侧 翻，无法完成行走。

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。

对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。

(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

图1 800×800平面场景图2 模型假设1. 假设机器人在该平面场景内为一点，不考虑机器人本身的体积大小；2. 假设机器人本身的控制系统灵敏、运行无故障；3. 忽略机器人转弯及直线行走的速度转换的缓冲时间；4. 假设机器人行走过程中不受外界因素干扰，为理想状态；5. 忽略机器人在节点处转弯所需的时间和转弯的路径距离；3 符号说明L 路程长度T 到A 点的最短时间路径 R 拐角转弯半径4 问题分析问题一，我们从O(0, 0)按照一定的行走方法并且绕过区域内的障碍物到达各个节点，并且标注出障碍物边机器人行走的危险区域，当机器人碰到危险区域时就以半径为10的圆弧转弯。

我们根据CAD作图求出各个切点的坐标，然后利用Matlab软件计算出最短距离，最后对多个模型的距离进行比较，得出O点到各个目标点的最短距离。

问题二，该问题讨论机器人从出发点到A点的最短时间问题，此问我们讨论了较为简单的情况，将转弯圆弧的圆心设在障碍物5的顶点上面，建立圆弧半径与时间的函数关系，利用Matlab软件对函数进行作图分析求出最优解。

5 模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解5.1.1建模过程本问题研究的是机器人从出发点到各个节点的最短路径，由于机器人是以直线行走和圆弧拐弯，根据平时经验可知两点之间直线最短，故机器人走的直线越多则路径最短，在拐弯处，当圆弧是以最短半径转弯时其转弯半径最短，因而以半径为10的圆弧转弯。

1.模型一我们假设机器人在行走过程中，从起点到目标点无论障碍物有多少，都是直线行走只在水平方向和竖直方向，转弯处均以半径为10的圆弧转弯。

O→A有两种走法：①从O点出发竖直向上走到点（0,280）处，然后以半径为10、圆心为（10,280）的圆弧转弯到点（10,290），再水平向又走到点（290,290），最后以圆心为（290,300），半径为10转弯走过四分之一到达A点，故机器人走过的路程L=591.4159；②从O点水平向右走到点(260，0)处，然后半径为10、圆心为（260,10）的圆弧转弯到点（270,10），再竖直向上走到点（270,290），然后以圆心为（280,290）半径为10的圆弧转弯到点（280,300），最后水平向右到达A点，故机器人走过的路程L=591.4159。

所以知两种走法的路程相同，均为591.4159。

如图1图12.模型二从起点到目标点无论中间都多少障碍物，机器人向目标点前进，如果碰见障碍物，则在障碍物顶点处以顶点为圆心，10为半径的圆弧转弯。

机器人O→A走法为：从O点直线行走到点（70.5060,213.1406），在以半径为10圆心为（80,210）的圆弧转弯到（76.6064,219.4060），最后在直线行走到目标点A出，其路程L=470.7314如图2图2综上，对比模型一和模型二，模型二的行走路程更近，故我们选用模型二的方法来让机器人到达各个目标点。

对问题一中，机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径的路线情况如图3：图35.1.2建模的求解①由上面分析可知机器人从O点到A点的最短路程L=470.7314②机器人从O点到B点，可能短的路径有三条，我们分别算出三条路径的路程，最后进行比较得知，右边那一条路径最短，它是由三条直线和两个圆弧组成的路线，路程L=852.7121，即O→B的最短路程L=852.7121③从原点到达C点，有三条短路径，通过计算、比较路程大小得知下边这一条路径最短，这一条路径是由三个圆弧和四条直线组成，其路程L=1135.0452④O→A→B→C→O 可将其分解成四部分O→A、A →B、B →C、C →O，将其算出最短路程，5.2问题二模型的建立与求解本问题讨论的是机器人到达A 点的最短时间，由于从原点O （0,0）到A （300,300），在这两点之间有着障碍物5，因此机器人在向目标点A 行走过程中，不能直线到达，会有圆弧转弯，由题中可知机器人在直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。

机器人转弯时，最大转弯速度为：21.0100e1)(ρρ-+==v v v注：其中ρ是转弯半径。

我们知道在直线路段时行走速度越大所通过的路程所用时间越短。

已知50=v ；则有下面两种走法；1.直线路段以最大速度行走（即50=v ），转弯时以最小半径转弯（即10=ρ），所以 将50=v ，10=ρ代入21.0100e1)(ρρ-+==v v v ，运用Matlab 软件解得v=2.5即当转弯半径为10=ρ时，转弯速度为v=2.52.直线路段以最大速度行走（即50=v ），转弯时以最大转弯速度即最大行走速度0v 转弯（已知超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走，故取50=v 转弯）。

则有21.0100e1)(ρρ-+==v v v 5≤运用Matlab 软件解得半径P ≤10.682；所以机器人转弯速度最大时，算得转弯半径P=10.682根据21.0100e1)(ρρ-+==v v v 的函数图像可知：该函数为增函数，当转弯半径越大时，机器人的转弯速度越大。

而本问中所求的是机器人到达A 点的最短时间路径，即为机器人最短时间到达目标点的路径。

即当机器人直线行走速度和转弯速度都是最大时，时间最短，故走法1不做考虑，取走法2进行计算，由走法2我们知道转弯半径P=10.682，运用CAD 软件算得转弯的圆弧路程为h=10.249,直线路段路程为475.6，如图由路程公式vt s =得；当转弯半径P=10.682时，从O 点到A 点的最短时间路径为T=97.1698模型的优缺点分析模型优点：1.本模型思想通俗易懂，具有较强的操作性、广泛性的应用价值。

2.本模型中的线圆结构采用CAD作图，准确性强，不会出现人为性误差，会更加客观、清晰。

3.以最简单的例子，圆形在障碍物的顶点上，最小半径为10个单位，从问题一到问题二慢慢深入，建立机器人行走时间与最短路程的函数关系。

模型缺点：1.因为在实际情况下，机器人不可能速度发生瞬间变化，故上述模型建立在理想状态下，与实际有一定的偏差。

2.在考虑最短路径和最短时间路径两种情况中有所欠缺，在模型的改进上扩展性不是很强。