黎曼函数的极限
黎曼函数是指如下函数：
*0,0,1(0,1)()1,(,,)x R x p x p q p q q q =⎧⎪=⎨=<∈⎪⎩或者内无理数既约分数,
容易知道R (x )的定义域为[0,1]. 因为(0,1)内任意有理数都可以表示成p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *)，而任意一个数p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *)都表示(0,1)内的有理数.
我们首先来了解黎曼函数的一个性质.
定理1 对∀ε>0，使R (x )≥ε的x 只有有限个. (这里的有限个也包括0个. ) 我们只做简单分析，不做严格证明. 当x 不在[0,1]内时R (x )没有意义，从而也谈不上R (x )≥ε. 当x =0,1或者(0,1)内的无理数时，R (x )≥ε显然不成立. 当x 为(0,1)内的有理数时，x 可写成x=p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *). 容易知道R (x )≥ε时，有q ≤1/ε.再由q ∈ *可知q 只可能取有限个值，或者任何值都不能取. 又由于p <q ，p ∈ *所以p /q 可能的情况只有有限个. 于是使R (x )≥ε的x 只有有限个.
我们再来了解有理数的一个性质.
定理2 U o (p /q ;δ)内有理数的分母大于1/(q δ). (设有理数分母总为正整数) 证明 设x =(r /s )∈U o (p /q ;δ),那么|rq -sp |≥1,从而δ>|r /s-p /q |=|(rq -sp )/sq |≥1/sq ，从而s >1/(q δ).
定理3 黎曼函数在(0,1)内任意一点的极限为0，在x =0处右极限为0，在x =1处左极限为0.
证明 (1)x 0为[0,1]内的无理数. 任给∀ε>0.
若(0,1)内不存在有理数使得R (x )≥ε. 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|}. 就可以得到对∀x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0.
若(0,1)内存在有理数使得R (x )≥ε. 根据定理1知道，这样的有理数只可能有有限个，从而也是可列个. 设这些使R (x )≥ε的有理数为x 1,x 2,…,x n . 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|,|x 1-x 0|,|x 2-x 0|,…,|x n -x 0|}>0. 这样就可以得到对∀x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0.
(2)x 0为(0,1)内的有理数.
设x 0=p /q (既约分数,p <q ,p ,q ∈ *). 任给∀ε>0，取δ=min{ε/q ,|x 0|,|1-x 0|}. 若x 为U o (p /q ;δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r <s ,r ,s ∈ *). 由于x ∈U o (p /q ;ε/q ). 根据定理2得s >1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为U o (p /q ;δ)内无理数，则一定有R (x )=0<ε. 综合起来就是对∀x ∈U o (p /q ;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0.
(3)x 0=0. 任给∀ε>0, 取δ=min{ε,1}. 若x 为(0,δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r <s ,r ,s ∈ *). 由于x ∈U o (0/1;ε). 根据定理2得s >1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为
(0,δ)内无理数，则一定有R(x)=0<ε. 综合起来就是对∀x∈(0,δ)有R(x)<ε. 这说明R(x)在0处的右极限为0.
(4)x0=1. 与(3)的证明完全类似，故从略.
定理4 黎曼函数在有理点处不连续，在无理点处连续.
由定理3的结论和连续的定义可以直接得到.。