{
返回
例题分析
目标函数z= x+y
y
15 10 B(3,9) C(4,8) 8 A(18/5,39/5) 6 4 2 0
调整优值法
x+y =0
18x+2y=18 8 12x+y=12 2x+y=15 作出一组平行直线z=x+y， 2 4 6
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
②分析约束条件：
• Ｚ的值随甲、乙两种产品的产量Ｘ,Ｙ变 化而变化，但甲、乙两种产品是否可以 任意变化呢？它们受到哪些因素的制约？ 怎样用数学语言表述这些制约因素？
例题分析
列表：
消耗量 产品
资源
甲产品 （1t）
xt
乙产品 （1t）
yt 资源限额
（ t）
A种矿石（t）
B种矿石（t）
煤（t） 利润（元）
10 5 4 600
4
300 200 360
4 9 1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：

约束条件
目标函数： z=600x+1000y.
返回
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、y t,利润总额为z元,那么 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的可行域
10 20 30 40 5x+4y=200
90
x
{
10x+4y=300 600x+1000y=0
返回
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。
例题分析
例2
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每
规格类型 钢板类型
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y，
78
2x+y=15
18
x+2y=18 x+3y=27
27
x
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距离最近的直线是 返回 x+y=12，它们是最优解. 答:(略)
{
y
50 40
75
l l
作出一组平行直线 600x+1000y=t， 经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大. 此时z=600x+1000y取得最大值. 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
10
0
• ①画－画出线性约束条件所表示的可行 域； • ②移－在目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵（横）截距最大、最小的直线； • ③求－通过解方程组求出最优解； • ④答－作出答案．
概述:
在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我 们经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决 这类问题的理论基础是线性规划．利用线性规 划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一 种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问 怎样安排动用这些资源，能使完成的任务量最 大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项 任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的 人力、物力资源量最小．本节课主要研究这两 类问题．
导入新课:
实际问题

抽象概括
数学模型
推 理 演 算
还原说明 数学模型的解 实际问题的解
例题分析
例 1: 某工厂生产甲、乙两种产品 .已知生产甲种产品 1t 需消 耗 A种矿石 10t 、 B种矿石 5t 、煤 4t ；生产乙种产品 1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大?
27
x
x+3y=27
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解. 答（略）
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例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
y
15 9
B(3,9)
C(4,8)
{
打网格线法
目标函数t = x+y
y
——线性规划的简单应用
o
x
复习引入
1.已知二元一次不等式组
{
x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1 x+y=1
（1）画出不等式组所表示的平面区域；
y
（ 2 ）设 z=2x+y ，则式中变量 x,y 满足
的二元一次不等式组叫做x,y的 线性约束条件 ； ； 线性目标函数 线性约束条件 满足 的解(x,y)都叫做可行解；
分析:这是线性规划的理论和方法的应用中的第一类问题．即在人力、物力 资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多任务．解题一般步骤为：① 设出所求的未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④作出可行域； ⑤运用图解法求出最优解．
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①确定变量及目标函数：
若设生产甲、乙两种产品分别为Ｘt,Ｙt,利 润总额为Ｚ元，则用Ｘ,Ｙ如何表示Ｚ？
z=2x+y 叫做
x-y=0 1
0
x
1
(2,-1)
使z=2x+y取得最大值的可行解 为 ， y=-1 (2,-1) 且最大值为 ； (-1,-1) 3 (-1,-1) 使z=2x+y取得最小值的可行解 ， 且最小值为
2x+y=0
-3
；
这两个可行解都叫做问题的
最优解 。
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2．叙述线性规划的图解法步骤：
A规格
2 1
B规格
1 2
C规格
1 3
第一种钢板 X张 第二种钢板 y张
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N* 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
巩固练习1:
x 0 y 0 不等式组 表示的平面区域内 4 x 3 y 12
的整数点共有（ ）个
y
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12