d dr • 据微分几何，等式左侧 是光线路径的曲率矢量， ds ds
其大小就是路径曲线的曲率。 d 2r 1 • 令曲率矢量为：K e 2 ds
K
1
是曲率半径，e 是曲线主法线方向
1 K n

• 代入光线方程展开式：
dnr dr dn e r dr ds ds

r
r0
（ 3.6 ） 只要光纤折射率分布和入射点确定，就可计算光线轨迹。
x z
y
小结
程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系
( r )2 n2 r
光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传 播路径上有方向变化。 光线方程： d ds
dr n( r ) ds n( r )
2
（ 3.5a ） （ 3.5b ） （ 3.5c）
设 x 0，y 0 为入射点，L0 , M 0 , N 0 为入射点方向余弦， n0 为入射点折射率。
由上三式得光线轨迹（路径与z 的关系）：
z N 0 dr
2 2 n(r) 2 r0 x0 M 0 y0 L0 2 N0 1 2 r0 r n0 1/ 2
n nr
d dr dnr • 光线方程： n er ds ds dr
推导光线走向的表达式如下： 展开光线方程：
dn r n er dr
d
r

d 2r dr dn dn r n er 2 ds ds ds dr
d 2r 1 2 ds n dn r dr dn er dr ds ds
阶跃光纤中光线的传播
（ 3.12 ）
a
0
n2 n1 1
•
• •
n1 n2 Δ n1
x
多模光纤 = 0.01 - 0.03
单模光纤 = 0.002 - 0.01 传播光线：
a
n2 n1 n
1) 子午光线 ：播路径始终在过光纤轴线的同一平面内； 2) 偏斜光线：传播路径与光纤轴线不相交的光线。
– 对非均匀介质，相位既与位置有关，又与传播路径 上的折射率有关，用光程函数表示 – 波函数略去时间因子 E E0 r exp jk0 r
r n, r
– 相位梯度 r ：表示光线传播过程中相位的变 化率 由麦克斯韦方程推导程函方程:
由： E j0 H 等式左边： E { E0 r e jk r } e jk r E0 r e jk r E0 r
n3 n1 n2
2)
圆柱波导——光纤 – 结构：芯层n1，包层n2，缓冲层（缓冲层：有弹 性、耐腐蚀的塑料护套）。 n2 n1 – 材料和工艺：玻璃、拉丝 n2 – 应用：光通信。 – 分类：据纤芯折射率分为阶跃折射率和梯度折射 率光纤；据传输信号分为单模和多模光纤、保偏 光纤。
n(r) n1 n2 n2 n(r) n1
2 n12 n2
n1 • 例如： n1 1.5时单位长度（Km）零级模式传输时间: 当 ，
t 0 n1 / c 5s / km
临界模式传输时间延迟（最大时延差）： 当： 0.3% 15ns / km
1%
50ns / km
3.3.2
• 相对折射率差：
分量
Z 分量
d dθ 2nr dθ dr 0 nr ds ds r ds ds
d dz nr 0 ds ds
d dr dnr dθ nr rnr ds ds dr ds
光线方程
（3.4)
折射率梯度
光线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。
例1：光线在均匀媒质中的传播
光线方程： d n(r) dr n(r) ds ds 因 n = 常数 d 2r n 0 改写成： 2 a b r s
ds
其解为矢量直线方程：
r sa b
ra Βιβλιοθήκη a 阶跃折射率分布ra 0 a 梯度折射率分布
3.3.1 均匀介质波导传播时延及时延差
设光线沿z方向传播，在两个界面上都满足全反射条件： • 光线在芯层中的传播速度：
n2 L z z n1
v c / n1
• 传播距离为z时走过实际路径的长度为：
L z / cos z • 所需时间： t L / v n z / cos 1 z
x
dr n(r) (r) 因此 ds 相位梯度等于路径切线方向上的单位光程
dr r ds n(r)
上式对路径 S 求导 等式右边：
d ds
dr d n(r) ds ds (r)
d d(r) dr (r) ds r ds ds
r { r E0 } n 2 E0 0
{ r r }E0 n 2 E0 0
电场矢量振幅不能处处为零，因而必然有：
r r n 2
2
（3.2a）
或者：
r r r n 2 x, y , z （3.2b） y x z
dnr dr dn dr dn nr • 用 n 乘 K 有: nK er dr ds ds ds ds
• 上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内；
• 重写曲率矢量和光线方程展开式： d 2r 1 K e 2 ds dnr dr dn dr dn nK er nr dr ds ds ds ds
0 0 0
e jk0 r E0 r jk0 e jk0 r r E0 r
0
k0
jk0 e jk0 r r E0 r

与等式左边相等：
k0 r E0 r 0 H 0 r
光线向折射率大的方向弯曲。
相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点邻近单 位距离内的相移。(弧度/米）
3.3 均匀介质波导中光线的传播
1) 薄膜波导： – 结构：芯层n1，衬底n2，敷层n3，芯层可以做成各 种形式。 – 工艺：薄膜成型法（离子扩散、晶体生长） – 衬底材料：玻璃、电光晶体、半导体材料 – 应用：集成光路、光波导器件。
第三章 光波导光线理论
• 程函方程和光线路径方程
• 均匀介质波导中光线的传播
• 阶跃光纤中光线的传播
• 梯度光纤中光线的传播
• 导波模与特征方程 • 特征模与色散方程 • 多模波导的传输特性
• 光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波 长的有限大小（即衍射现象），则能量可以看 作沿一定曲线传播，电磁波的传播可以近似为 平面波。 • 方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏 振： – 程函方程
r E0 H0 n2 r H0 E0 r E0 0
r H0 0
（3.1a） （3.1b） （3.1c） （3.1d）
E
相位梯度
H
• 三个矢量正交，相位梯度与波面法线方向一致。 • 条件： 0, k0 • 将（3.1a）代入（3.1b） ， • 利用矢量恒等式 A B C A C B A B C
式3.3
r 2 n(r) 2 r r n(r) n(r) n(r) n(r)
故对 S 求导式为：
切线方向上的单位 光程沿路径变化率
d ds
dr n(r) ds n(r)
r ：光线传播路径S上某点的矢径 dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量, 根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向 与相位梯度方向一致，大小等于：
z dr/ds dr r r+dr y 路径S
dr r ds r
由程函方程
( r ) nr
（3.3)
a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进， 并通过r=b点。 物理意义：d dr 表示光线路径的曲率变化量。 ds ds d dr 0 表示光线路径为直线。 ds ds
例2：光线在折射率具有球对称分布媒质中的传播
• 球对称：折射率仅仅是球半径r的函数，如地球大气，
2 2 2

n 2，
( r ) nr
式（3.2a）称为程函方程； 相位梯度 r 方向与光波传播方向一致，其模等于 介质折射率； 程函方程给出波面变化规律： – 在均匀介质中，光波传输方向不变； – 在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变。
3.2 光线传播路径方程
• 即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
例3：光线在圆柱体中的传播
z
d 光线方程： ds
dr n(r) ds n(r)
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程： 设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则： dn /d =0, dn /dz =0
r 分量
– 光线传播路径方程
3.1 程函方程
光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。 平面波在任意方向传输的波函数： – 相位因子 k r nk0 r
E r, t E0 exp j t k r
k0 0 0，n
0

• 定义相对折射率差：
n1 n1 n1 n2 c n2