同时
故：
由第一部分的结论得：（ 前提条件：
）
7 比重型系列问题
设基数 A、B 均表示现期量，a、b 表示对应的增长率。
比重类问题
基期比重类 比重增量类
题型 1：定量求基期比重的值： 题型 2：定性判断现期比重与基期比重的大小关系：
题型 1：定量求比重增量（
）：
题型 2：定性判断比重增量的正负情况：
现期（或基期）种粮面积：
A
原借款本金：
A
现期（或基期）粮食单产：
B
第一期利率：
现象描述 现期（或基期）种粮面积增长率：
a
第二期利率：
现期（或基期）粮食单产增长率： 则-粮产总增长率为：
b （a+b）+ab
则-第二期后本息总量增长率为：
推导过程
（略）
计算方式
（略）
识记结论
“和+积”
6.3 复变法之连涨型
22.22 27.2727 55.56 57.14 87.50 88.89
现象描述
2 比较增长量
基数 A、B 均既可同时表示现期量又可同时表示基期量，a、b 表示增长率，
表示增长量
确定型（放缩型）
不确定型（估算型）
已知
已知
则
则
当基数 A、B 均表示基期量时： 当基数 A、B 均表示现期量时： 当基数 A、B 均表示基期量时： 当基数 A、B 均表示现期量时：
ZI LIAO FEN XI
懒懒 di 微笑
1 基础知识
设基期量 A，现期量 B，增长率 r%，增长量△m。
分数 分数 分数
50.00 33.33 66.37 25.00 75.00 20.00 40.00 60.00 80.00 16.67 83.33 14.29 28.57 42.86 57.14 71.43 12.50 37.50 62.50 87.50 11.11 22.22 44.44 55.56 77.78 88.89 9.0909 18.1818 27.2727 8.3333
∵ A>B a<b
∴ 又∵
（“下期待
我现在虽比你高，但我长得比你 慢，说不定以后我还没你高。
①若 A’’>B’’
⇔
）
⇔
⇔
推导过程 ⇔ ∴
②若 A’<B’，则
⇔ ②若 A’’>B’’，则
）
⇔
∴
⇔
⇔
⇔
计算方式 识记结论
⇔
基数---相对，增长率---绝对。 基数差异大，则基数大者大； 基数差异小，则基数小者大。
题型 1：定量求比重变化率增量（
）：
比重变化率类
题型 2：定性判断比重变化率的取值范围：
1. 若不 给自己 设限， 则人生 中就没 有限制 你发挥 的藩篱 。2. 若 不是心 宽似海 ，哪有 人生风 平浪静 。在纷 杂的尘 世里， 为自己 留下一 片纯静 的心灵 空间， 不管是 潮起潮 落，也 不管是 阴晴圆 缺，你 都可以 免去浮 躁，义 无反顾 ，勇往 直前， 轻松自 如地走 好人生 路上的 每一步 3. 花 一些 时间，总 会看清 一些事 。用一 些事情 ，总会 看清一 些人。 有时候 觉得自 己像个 神经病 。既纠 结了自 己，又 打扰了 别人。 努力过 后，才 知道许 多事情 ，坚持 坚持， 就过来 了。4. 岁月 是无情 的，假 如你丢 给它的 是一片 空白， 它还给 你的也 是一片 空白。 岁月是 有情的 ，假如 你奉献 给她 的是一些 色彩， 它奉献 给你的 也是一 些色彩 。你必 须努力 ，当有 一天蓦 然回首 时，你 的回忆 里才会 多一些 色彩斑 斓，少 一些苍 白无力 。只有 你自己 才能把 岁月描 画成一 幅难以 忘怀的 人生画 卷。
强者更强
直接计算 瘦死的骆驼比马大
⇔
基数---相对，增长率---绝对。 基数差异大，则基数大者大； 基数差异小，则基数小者大。
4 几年追赶型
现象描述
通俗语言 表述
基数 A、B 均表示现期量， 、
确定型（放缩型） 已知
表示 n 年后的量，a、b 表示每年对应的（平均）增长率
不确定型（估算型） 已知
则 n 年后
分数 分数 分数
8.3333 9.0909 11.11 25.00 28.57 33.33 60.00 62.50 66.37
12.50 37.50 71.43
14.29 40.00 75.00
16.67 18.1818 20.00 42.86 44.44 50.00 77.78 80.00 83.33
则 n 年后
大小待计算
我现在本身就比你高，加之我每年又比你长得快，所以 n 年后我依 我现在虽比你高，但我每年都长得比你慢，说不定 n 年后我还没你
然比你更高。
高。
n 年后
<
⇔
推导过程 （不存在追赶问题，即 B 永远都追不上 A）
⇔
⇔
-1
⇔
计算方式
⇔ 基数---相对，增长率---绝对。
设现期量为 A （1）若增长率为 ，则增长量为
现象描述
通俗语言 表述
则（1）
与 大小待计算（“基期待定”）
则（1）
（2）
我长了那么多才比你高，说不定 以前我还没你高。
①若 A’>B’ ⇔ ⇔ ⇔
我现在本身就比你高，加之我又 比你长得快，所以后我肯定比你 更高。 ∵ A>B
a>b ∴ 又∵
定”）
（2）
我只长了一点点后就比你高，说 明我之前肯定也比你高。
（2）若增长率为
，则增长量为
5 速算增长量
； ；
6 复变法 6.1 复变法之关系图
复变法
乘法型
求粮产总增长率型 求本息总增长率型 连涨型 展开型
“和+积”
定性型
除法型 （即比重型）
定量型
A
B
比值型 比例型
对应“比重型”系列题目
6.2 复变法之乘法型 粮产总增长率型/本息总增长率型
粮产总增长率型
本息总增长率型
第一部分： 设本金为 A，第一期增长率为 ，第二期增长率为 ，第三期增长率为 ，第四期增长率为
以此类推，第 n 期增长率为 。则：
（1） 由上得，第二期后总增长率：
，但不管
的符号是相同还是相反，以下式子都成立：
（若
，则
） （ 可视为平均增长率）
（2） 归纳得，第三期后总增长率：
（若
，则
） （ 可视为平均增长率）
（3） 归纳得，第四期后总增长率：
（若
，则
） （ 可视为平均增长率）
（4） 归纳得，第 n 期后总增长率：
（若
均增长率） 第二部分： 由上可得以下结论： （1） 每年增长 1%，则十年总增长不止 10%；十年总增长 10%，则每年增长不到 1%； （2） 总增长率 > 平均增长率之和； （3） 总增长率的平均数 > 平均增长率。 第三部分：
∵
①若
⇔
∴
∵
①若
⇔
∴
⇔
⇔
∴
⇔
⇔
推导过程
∴ ⇔⇔Βιβλιοθήκη ②若⇔②若
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
计算方式 识记结论
直接计算（带约算） 名师出高徒
⇔
基数---相对，增长率---相对。 基数差异大，则基数大者大； 基数差异小，则基数小者大。
3 比较基期量/下期量
基数 A、B 均表示现期量， 、 表示基期量， 、 已知
表示下期量 已知
，则
） （ 可视为平
（1） 注意“总增长率”“平均增长率”与“总增长率的平均数”三者的区别； （2） 注意“总增长率”“平均增长率”与“总增长率的平均数”三者的关系。
第一部分：二项式泰勒展开式
6.4 复变法之展开型
（泰勒公式展开——连涨型的升华版）
当
时：
又当
时：
r 可视为 n 年的年平均增长率 第二部分：平均增长率 r 与总增长率 R 的关系 设基期量为 A，增长 n 年后的最终量为 B，n 年的平均增长率为 r，n 年的总增长率为 R，则：