浙江省温州地区 2016 年初中数学竞赛选拔试卷含答案浙江省温州地区2016 年初中数学竞赛选拔试卷（检测范围：初中数学竞赛大纲要求所有内容）一、单项选择题 （本大题分 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 2≠ 的图1 121≠x 2) 的图象与一次函数1、设二次函数 y =a(x-x )(x-x )(a ≠0,xy =dx+e(d 0) 象交于点 (x 1 , 0)，若函数 y=y 2 +y 1的图象与 x 轴仅有一个交点，则 ( ).1 2 2 1 1 2 21 2 2A ．a(x -x )=dB ．a(x -x )=dC ． a(x -x ) =dD ．a(x +x ) =d2、如图， ABC 、 EFG 均是边长为 2的等边三角形，点 D 是边 BC 、 EF 的中点，直线 AG 、FC 相交于点 M ．当 EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是 ( ).A ． 2 3B ． 31C ． 2 第 2 题D ． 3 1 1m ，然后原地逆时针旋转 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进α( 0°<α<180°)，被称为一次操作．若 5 次操作后，发现赛车回到出发点， 则 α为( ). A ．72 ° B ．108 ° C ．144 ° D ．以上选项均不正确4、方程 x 2 xy y 2 3 x y 的整数解有 ( ). A 、3 组 B 、4 组 C 、5 组 D 、 6 组 二、填空题 （本大题分 16 小题，每题 5 分，共 80 分）5、如图，在矩形 ABCD 中， AB= 4 6 ，AD=10，连接 BD ， DBC 的角平分线 BE 交 DC 于点 E ，现把 BCE 绕点 B 逆时针旋转，记旋转后的 BCE 为 BC' E' ，当射线 BE'和射线 BC ' 都与线段 AD 相交时，设交点分别为 F ， G ，若 BFD 为等腰三角形，则线段 DG 长为 . 6、如图，在平面直角坐标系中，点 M 是第一象限内一点，过 M 的直线分别交 x 轴， y 轴的正半轴于 A 、B 两点，且 M 是 AB 的中点 . 以 OM 为直径的 ⊙ P 分别交 x 轴，y 轴于 C 、D 两点，交直线 AB 于点 E( 位于点 M 右下方 ) ， 连结 DE 交 OM 于点 K. 设 tanOBA x ( 0< x <1) ，OKy ，则 y 关于 xMK的函数解析式为 .7、如图，梯形 ABCD 的面积为 34cm 2，AE=BF ，CE 与 DF 相交于 O ， OCD的面积为 11cm 2，则阴影部分的面积为 ______cm 2．A E' DG F第 6 题C'E第 5 题8、如 ，四 形 ABCD 正方形，⊙ O 正方形的 点 A 和 角 的交点 P ，分 交 AB 、AD 于点 F 、E ．若⊙O 的半径3，AB= 2 +1，AE的．2 ED9、已知一个正三角形的三个 点在一个正方形的 上移. 如果 个内接三角形的最大面 是 3. 正方形的 .10、在四 形 ABCD 中， AB=x ，BC=CD =4，DA=5，它的 角AC=y ，其中 x ， y 都是整数， ∠BAC=∠ DAC ，那么 x=． 个， 第 10 题 11、如果 足 ||x 2-6x-16|-10| = a 的 数 x 恰有 6 那么 数 a 的 等于 ．第 7 题第 8 题12、一批救灾物 分 随 16 列 从甲站 急 运到三百多千米以外的乙站，已知每列 的平均速度都相等，且 v 千米 /小 ．两列v 2在运行中的 隔不小于千米， 批救灾物 全部运到目的地最25快需要 6 小 ，那么每隔 分 从甲站向乙站 一趟 才能 使 批 物在 6 小 内运到 .13、已知 0≤a-b ≤1， 1≤a+b ≤4，那么当 a-2b 达到最大 ， 8a+2015b 的 等于 .14、在 l 的正方形 ABCD 中，点 M 、N 、O 、P 分 在AB 、BC 、CD 、 DA 上．如果 AM=BM ，DP=3AP ， MN+NO+OP 的最小 是 .15、如 ，在四 形 片 ABCD 中， AB=BC ，AD=CD ，∠A=∠C=90°，∠ B=150°，将 片先沿直 BD 折，再将 折后的 形沿从一个 点出 的直 裁剪，剪开后的 形打开 平，若 平后的 形中有一个是面2的平行四 形， CD= . 第 15 题16、从 1, 2, ⋯,2008 中 出 和 1009000 的 1004 个数，并且 1004 个数中的任意两数之和都不等于 2009． 1004 个数的平方和 ．17、已知直角三角形 ABC 中，斜 AB 2，∠ ACB=90°，三角形内一个点到三个 点的距离之和的最小 7 ， 个直角三角形的两个角大小分 ， 18、若 数 x 、y 足： x3 x 13y2y ， 若 p=x+y ，p max = ，p min = ．19、已知平面上有 4 个 叠在一起形成10 个区域，其中在外区域的三个 每个 有 5 个区域，在内区域的 有 7 个区域． 将数字 0, 1, ⋯, 9 分 放入 10 个区域，且使每个 都有相同的数字和， 数字和 S 的取．x 1x 3 x 2x 6x 5 x 7x 4 x 8 x 9x 10第 19 题范围为 ．20、已知∠ BAC=90°，四边形 ADEF 是正方形B 且边长为 1，则11 1 的最大值ABBC CA为，简述理由 ( 可列式 ) ：D第 20 题E.ACF三、分析解答题 （本大题分 5 小题，分值依次为 8 分、 10 分、 8 分、 14 分、10 分，共 50 分）21、( 8 分 ) 牛顿和莱布尼茨于 17 世纪分别独立地创立了积分学 . 其中有一个重要的概念：定积分 . 我们规定把函数 f x 中区间 a ， b ( 包括 a, b) 与 xb x dx .轴围成的面积记作： fabkf x dxkb( 1). 试证：f x dx ；aa( 2) ．对于任意实数 a ，b ，c 其中 ( a ＜ c ＜ b ), 是否都有：b cbf x dxf x dxf x dx . 如没有请举出反例；如有，请证明之 .aac22、(10 分) 在正方形 ABCD 的 AB 、AD 边各取点 K 、N ，使得 AK ·AN=2BK ·DN ，线段 CK 、CN 交对角线 BD 于点 L 、M ，试证：∠ BLK=∠DNC=∠BAM.23、( 8分)设AB，CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点 P，过 P 作直线 PE，与圆分别交于 E，F 两点，连 AE，AF分别与 CD 交于 G，H 两点 ( 如图 ) ，求证： OG=OH .第 23 题24、( 14分)如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ 为边作 Rt ABQ ，使∠ BAQ=90°， AQ： AB=3：4，作 ABQ 的外接圆 O．点 C 在点 P 右侧， PC=4，过点 C 作直线 m⊥l ，过点 O 作 OD3⊥m 于点 D，交 AB 右侧的圆弧于点 E．在射线 CD 上取点 F，使 DF= C D，以DE， DF 为邻边作矩形 DEGF．设AQ=3x． ( 1) 用关于 x 的代数式表示 BQ， DF．( 2)当点 P 在点 A 右侧时，若矩形 DEGF 的面积等于 90，求 AP 的长．( 3)在点 P 的整个运动过程中，①当 AP 为何值时，矩形 DEGF 是正方形？②作直线 BG 交⊙ O 于点 N，若 BN 的弦心距为 1，求 AP 的长．25、( 10分)有A、B、C三个村庄，各村分别有适龄儿童a、b、c 人. 今要建立一所小学，使各村学生到校总里程最短 . 试问：若三村人数不一定相等时学校应建在哪里？初 中 数 学 竞 赛 选 拔 试 卷参 考 答 案一、单项选择题 ( 本大题分 4 小题，每题 5 分，共 20 分 )题目12 34答案 B D D D二、填空题 ( 本大题分 10 小题，每题 5 分，共 50 分 )5、986、 y2 2 7、12 8、 2或29、 2 3 3 10、4 或 5 171 x 211、1012、1213、8 14、 85 15、 2 3 4 或 2 34、9 3 15 或 9 3 21 16135137394017 30 , 60 1822；理由：求式2、11 ，又 BDE ∽ EFCBD ·CF=1，202=1+BCBC2≥2+2BD ·CF+ 4 BD CF =8∴计算可得为 122三、分析解答题 ( 本大题分 5 小题，分值依次为 8 分、 10 分、 14 分、 10 分，共 50 分)21、( 8 分) 【解】 ( 暂无解答，征求答案 ) 22、( 10 分) 【解】连结 KN 、KM ，将 NDC 绕点 C 顺时针旋转 90°得 EBC .22AB=AD AK+BK=AN+DN (AK-AN) =(DN-BK)2222AK +AN -2AK · AN=DN +BK -2ND ·BK( 两边同加 2AK ·AN)AK 2+AN 2=(DN+BK)2( 由 AK ·AN=2BK ·DN 可知 ), 结合图可知 NK 2=KE 2∴ NKC ∽ EKC ( SSS) ∴∠ DNC=∠KEC=∠ KNC ，且∠ KCN=45° ∴ B 、C 、 M 、K 四点共圆 ( ∠KBN=45°)∴ K M ⊥ CN ，∴ A 、K 、M 、N 四点共圆∴∠ KAM=∠KNM=∠DNC ，又∠ MDN=45°=∠KCN ∴N 、L 、C 、 D 四点共圆，∴∠ DNC=∠ DLC=∠KLB∴∠ DNC=∠KAM=∠KLB( 即∠ BLK=∠DNC=∠BAM)23、( 8 分)【解】23、第23题解24、( 14 分)【解】25、( 10 分)【解】 ( I ) 当三村人数相等时，分以下两种情形( 如图 ) ：( 1)ABC 中最大角大于 120°，不妨令∠ A≥ 120°，则学校应建在 A 村； ( 2)ABC 中最大角小于 120°，则学校应建在 X 点( 此点到三边的张角相等，亦称ABC 的费马点 ) ( II ) 当三村人数不一定相等时，则学校所在地X，可通过物理学的模拟方法求出：在平面上，用三点 A、B、C 模拟三村，用重物 a、b、c 模拟相应各村人数，并用细线通过滑轮连接于 X 点. 当出现平衡时，平衡点 X 就是学校该建的地方 . 由静力学势能原理可知：AX·a+BX·b+CX·c 达最小值，即各村分别有适龄儿童到校总里程最短 . 当 a=b=c 时， AX、BX、CX 三方向拉力相等且平衡 . 由对称关系，立得：∠ AXB=∠BXC=∠ CXA=90°.CBAX CB A( 1)( 2)。