改进的牛顿迭代法求解非线性方程
摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。

关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程
一、牛顿法的迭代公式
设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当*0x x →时，由Taylor 公式有：
))(()()(000x x x f x f x f -'+≈
以方程
0))(()(000=-'+x x x f x f
近似方程0)(=x f ，其解
)
()(0001x f x f x x '-= 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式
),1,0(,)
()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 该方法称为牛顿迭代法。

二、牛顿法的改进
由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算)(x f '，且能够更好的收敛。

2.1简化的牛顿法
牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算)(k x f '。

为回避该问题，常用一个固定 )(k x f '迭代若干步后再求)(k x f '。

这就是简化牛顿法的基本思想。

简化牛顿法的公式为：
)(1k k k x cf x x -=+
迭代函数 )()(x cf x x -=ϕ
若 2)(0,1)(1)(<'<<'-='x f c x f c x 即ϕ，在根*x 附近成立，则迭代法局部收敛。

显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。

2.2牛顿下山法
牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值0x 的选取，若0x 偏离所求根*x 较远，则牛顿法可能发散。

为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有单调性：
)()(1k k x f x f <+
保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。

将牛顿法的计算结果
)
()(1k k k k x f x f x x '-=+ 与前一步的近似值k x 适当加权平均作为新的改进值
k k k x x x )1(11λλ-+=++
其中，称 )10(≤<λλ为下山因子，即为：
)
()(1k k k k x f x f x x '-=+λ 称为牛顿下山法。

选择下山因子λ时，从 1=λ开始逐次将λ减半进行试算，直到条件成立为止。

三 举例说明
例1 求方程013=--x x 的根
（1）取5.10=x ，用牛顿法公式：
1
32131---=-+k k k k x x x x x 计算得：32472.1,32520.1,34783.1321===x x x
迭代3次得到的结果3x 有6位有效数字。

（2）改用6.00=x 作为迭代初值，依牛顿法公式迭代一次得9.171=x 。

该结果反比6.00=x 更偏离了所求根32472.1*=x
（3）用牛顿下山法解：（2）中通过λ逐次取半进行试算，当λ= 1/32时可得，140625.11=x ，此时有,655543.0)(1=x f 而384.1)(0-=x f ，显然)()(01x f x f <。

由1x 计算 ,,32x x 时λ=1均能使条件)()(1k k x f x f <+成立。

计算结果：0000086
.0)(,32472.100667.0)(,32628.11866
.0)(,36181.1443322======x f x x f x x f x
4x 即为*x 的近似。

通过简单例子可以看出改进的牛顿法较牛顿法简便。