高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。

几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。

（与0的区别） ③单位向量｜a｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b⑤相等向量记为b a=。

大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbba +ba +AABBC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。

②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。

二．【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)ba b a ==则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB ---=练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得A ．AB B ．DAC ．BCD ．03．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →=3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上ABCDE7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB →，求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212CD ,B C),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，BC AOM D使得a xi yj =+…………○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠0)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量[例1] 在△OAB 中，OB OD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A ．1e 与—2e B ．31e 与22e C ．1e ＋2e 与1e —2e D ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12) C ．(3,2) D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →， 则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53 题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。