2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题（附解析）一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．15．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ）A ．向上平移1个单位长度B ．向下平移1个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数2,0(),0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若f (0)=a ，则f (a )=（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ．08．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ）A ．2π B ．π C ．2π D ．4π9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 210．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]-②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-=其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________13．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.17．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，BC=23.（1）求内角B的大小;（2）设函数f(x)=2sin(x+B)，求f(x)的最大值，并指出此时x的值.18．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且E，F分别为BC，PC的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积.19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围;（3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.2020年湖南省普通高中学业水平考试数学试题（解析）一、单选题1．如图所示的几何体是（ ）A ．圆锥B ．棱锥C ．圆台D ．棱柱【答案】D 【详解】由图形可知，该几何体有两个面平行且全等，侧棱平行且相等，故该几何体为棱柱.故选：D.2．已知向量()2,1a =，()11b =-,，若(),2a b x +=，则x =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】已知向量()2,1a =，()11b =-,，则()()1,2,2a b x +==，因此，1x =.故选：B. 3．圆C : x 2+y 2= 1的面积是（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【详解】由圆的方程知：圆C 的半径为1，所以面积2S r ππ==，故选：C4．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．1【答案】A【详解】由题意可知盒子里装有大小相同的红球和白球共3 个，其中1个白球，所以从中随机取出1个球，取到白球的概率是13, 故选：A5．要得到函数y =1+sin x 的图象，只需将函数y =sin x 的图象（ ）A ．向上平移1个单位长度B ．向下平移1个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向左平移1个单位长度【答案】A【详解】根据“左加右减，上加下减”的原则，将函数y =sin x 的图象向上平移1个单位可得y =1+sin x 的图象，故选：A.6．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n ，则a 4=（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】B【详解】由题意a n +1=2a n 可知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，故可得数列的通项公式为12n n a ，∴3428a ==， 故选：B.7．已知函数2,0(),0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若f (0)=a ，则f (a )=（ ） A ．4B ．2C ．2D ．0 【答案】C【详解】因为f (0)=a ，代入分段函数中可得02a +=，得2a =，所以()(2)2f a f ==，故选：C 8．函数()2sin cos f x x x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【详解】()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.9．用12cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（ ）A ．3cm 2B ．6cm 2C ．9cm 2D ．12cm 2 【答案】C【详解】设矩形的长、宽分别为,x y cm ，则有2()12x y +=，即6x y +=，∵矩形的面积S xy =， ∴2()94x y S xy +=≤= cm 2，当且仅当3x y ==时等号成立， 故选：C10．已知定义在[3,3]-上的函数y =f (x )的图象如图所示.下述四个结论:①函数y =f (x )的值域为[2,2]-②函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-③函数y =f (x )仅有两个零点④存在实数a 满足()()0f a f a +-=其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】D【详解】由图像可知函数的最大值大于2，最小值小于2-，所以①错误；由图像可知函数y =f (x )的单调递减区间为[1,1]-，所以②正确；由图像可知其图像与x 轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；当1a =时，有()()(1)(1)220f a f a f f +-=+-=-+=，所以④正确，故选：D二、填空题11．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________.【答案】1【详解】由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =，当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆，所以1a =.故答案为：1.12．某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因，拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正常的人数之比为_____________ 【答案】12【详解】因为某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人， 所以用分层抽样的方法抽取部分学生中，视力近视与视力正常的人数之比为151302=， 故答案为：1213．已知直线l 1:y =x ，l 2:y =kx .若l 1⊥l 2，则k =______________.【答案】-1【详解】由l 1⊥l 2，知：1k =-，故答案为：-1.14．已知等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，则{ a n }的前5项和S 5= __________.【答案】15.【详解】由等差数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，知：公差1d =，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为1(1)n a a n d n =+-=，∴由等差数列前n 项和公式1()(1)22n n n a a n n S ++==， 即可得55(51)152S ⨯+==， 故答案为：15.15．已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________. 【答案】35【详解】因为角α的终边经过点(3，4)，所以2233cos 534x r α===+，故答案：35三、解答题16．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=； （2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)， ∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P =⨯=.17．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC =23. 所以2222222(23)23cos 222223AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+， 所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈18．如图所示，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且E ，F 分别为BC ，PC 的中点.（1）求证: EF //平面PAB ;（2）已知AB =AC =4，PA =6，求三棱锥F -AEC 的体积.【详解】（1）连接EF ，在△PBC 中EF 为中位线，故//EF PB ，∵EF ⊄面PAB ，PB ⊂面PAB∴//EF 面PAB ；（2）过F 作//FG PA 交AC 于G ，如下图示：∵P A ⊥平面ABC ，∴FG ⊥平面ABC ，即FG 是三棱锥F -AEC 的高，又F 为PC 的中点， ∴由P A =6，则32PA FG ==， 又AB =AC =4，E 为BC 的中点且AB ⊥AC ，知：44424ABC AEC S S⨯===， ∴三棱锥F -AEC 的体积143AEC V FG S =⋅⋅=. 19．已知函数(())x x f x a g x a -==，，其中0a >，且1a ≠.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由;（2）若不等式()()f x g x ≥对x ∈R 都成立，求a 的取值范围; （3）设(1)2f =，直线1y t =与()y f x =的图象交于A B ，两点，直线2y t =与()y g x =的图象交于C D ，两点，得到四边形ABCD .证明:存在实数12t t ，，使四边形ABCD 为正方形.【详解】 (1) ()f x 是偶函数 ()x f x a =，))((x x f x aa f x -∴==-=,()f x ∴是偶函数 （2）))((x x f x a g a x -==，(())x x x f x g a a -≥⇔≥∴ 当1a >时0x x x x R ≥-⇒≥⇒∈ 满足题意， 当01a <<时00x x x x ≥-⇒≤⇒= 不满足题意所以1a >（3）(1)2,2f a =∴= ()22()x x f x g x -∴==，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB BC = ,设01(,)B x t 则02(,)C x t 0122x t t ∴=- ，又00122,2,x x t t -== 02122log log x t t ∴==-212212log log 01t t t t ∴+=⇒=故存在实数12t t ，当121t t =使得四边形ABCD 为正方形.。