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matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量
篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征
向量
一.幂法
1.幂法简介：
当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵a需要满足的条件为：
(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值
xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,
1.1计算过程：
n
对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有
i1
x(k1)ax(k)...ak1x(0)
aαiuiαiλik1uik1
i1i1nn
nk12k1λ1u1()a2u2()anun11
k111u1k11
2|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。
kxx11u1
2算法实现
(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n
(2).k1,0;y(k)x(k)
max(abs(x(k))
(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)
(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停
机.3matlab程序代码
function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;
z=0;%z相当于
y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量
x=a*y;%迭代格式
b=max(x);%b相当于
ifabs(z-b) t=max(x);
return;
end
whileabs(z-b)>eps
z=b;
y=x./max(abs(x));
x=a*y;
b=max(x);
end
[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵
的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。
end
4举例验证
选取一个矩阵a，代入程序，得到结果，并与eig(a)的得到结果比较，再计算a*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。
结果如下：
结果正确，表明算法和代码正确，然后利用此程序计算15阶hilb矩阵，与eig(a)的得到结果比较，再计算a*y-t*y，验证y是否是对应的特征向量。
设置初始向量为
x0=ones(15,1)，结果显示如下
可见，结果正确。
得到了15阶hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
二.反幂法
1.反幂法简介及其理论
在工程计算中，可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。
其基本理论如下，与幂法基本相同：1则a1x由axxxa(x)，1
x，可知，a和a-1的特征值互为倒数，
求a按模最小特征值即求a-1的按模最大特征值,取倒数即为a的按模最小特征值所以算法基本相同，区别就是在计算x(k1)时，不是令x(k1)ay(k),而是x(k1)a-1y(k)具体计算时，变换为ax(k1)y(k);对a做lu分解，来计算x(k1)
2.算法实现
(1).输入矩阵a,初始向量x,误差限,最大迭代次数n,
(2).置k1,00,y
(3).作三角分解alu
(4).解方程组luxy(lzy,uxz),
(5).max(x),
1(6).若|0|,输出,y,停机,否则转(7),x,max(abs(x))
(7).若kn,置kk1,0,y
否则输出失败信息,停机.x,转(4);max(abs(x))
3matlab程序代码
function[s,y]=invpower(a,x0,eps,n)%s为按模最小
特征值，y是对应特征向量k=1;r=0;%r相当于0
y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量
[l,u]=lu(a);
z=l\y;
x=u\z;
u=max(x);
s=1/u;%按模最小为a-1按模最大的倒数.
ifabs(u-r) return
end
whileabs(u-r)>eps
r=u;
y=x./max(abs(x));
z=l\y;
x=u\z;
u=max(x);
end
[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值
s=1/x(index);%是原值，而非其绝对值。
end
4举例验证
同幂法一样，选取一个矩阵a，代入程序，得到结果，并与eig(a)的得到结果比较，再计算a*y-t*y，验证y是否
是对应的特征向量。
篇二：第3章矩阵特征值与特征向量的计算-new
第3章矩阵特征值与特征向量的计算
一、考核知识点：
乘幂法、逆幂法、雅可比法
二、考核要求：
1．知道乘幂法，逆幂法的基本思想；会用乘幂法求矩阵的特征值与特征向量。
2．知道雅可比法的基本思想；会用雅可比法计算对称矩阵的特征值与特征向量。
三、重、难点分析
21例1已知a12，用乘幂法求1，e1
说明：乘幂法是求实方阵a的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。
逆幂法是求实方阵a的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。
注意：初始值x0不能取零向量。
解取x0(11)t，用乘幂法迭代公式
y(k1)x(k)/max(x(k))
x(k1)ay(k)，k0,1,
4例2用雅可比法求a3的全部特征值与特征向量。
2
注意：平面旋转矩阵R的元素的排列顺序和旋转角的确定。