实验十四特征值和特征向量
【实验目的】
1.了解特征值和特征向量的基本概念。

2.了解奇异值分解的基本概念。

3.学习、掌握MATLAB软件有关命令。

【实验内容】
计算特征值和特征向量
【实验准备】
1.特征值和特征向量的基本概念
A是n n⨯矩阵，如果λ满足Ax xλ
=,则称λ是矩阵A的特征值，x 是矩阵A的特征向量。

如果A是实对称矩阵，则特征值为实数，否则，特制值为复数。

2.矩阵的奇异值分解
3.矩阵特征值、奇异值分解的MATLAB命令
MATLAB中主要用eig求矩阵的特征值和特征向量，用svd求矩阵的奇异值分解。

eig(A)计算矩阵A的特征值
[X，D]=eig(A) D的对角线元素是特征值，X是矩阵，它的列是相应的特征向量。

s=svd(A)假设矩阵A的行数大于列数，则s是矩阵A的n个奇异值构成的向量。

[U，S，D]=svd(A)U,S,D为矩阵A的奇异值分解三对组。

【实验重点】
1.特征值与特征向量的计算
2.矩阵的奇异值分解
【实验难点】
1.矩阵的奇异值分解
【实验方法与步骤】
练习1求矩阵
31
13
A
-
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
的特征值和特征向量。

相应的MATLAB代码和计算结果为
A=[3-1；-1 3]
A=
3 -1
-1 3
eig(A) %A的特征值
ans=
4
2
[X,D]=eig(A) %D的对角线元素是特征值，X是矩阵X=
-0.7071 -0.7071
0.7071 -0.7071
D=
4 0
0 2
练习2求矩阵
23
45
84
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的奇异值分解。

相应的MATLAB代码和计算结果为
A=[2 3；4 5；8 4]
A=
2 3
4 5
8 4
s=svd(A) %s是矩阵A的2个奇异值构成的向量s=
11.2889
2.5612
[U,S,V]=svd(A) %给出简洁方式的奇异值分解结果U=
0.3011 0.4694 -0.8301
0.5491 0.6263 0.5534
0.7796 -0.6224 -0.0692
S=
11.2889 0
0 2.5612
0 0
V=
0.8004 -0.5995
0.5995 0.8004
[U,S,V]=svd(A,0)
U=
0.3011 0.4694
0.5491 0.6263
0.7796 -0.6224
S=
11.2889 0
0 2.5612
V=
0.8004 -0.5995
0.5995 0.8004
【练习与思考】
1. 求下列矩阵的全部特征值和特征向量。

（1）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=0110A ； （2）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B ；
（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1111111111111111C 。