4
充要条件的探求
5
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
若 f (－x)= － f (x)，则f (x)是奇函数，反之也成立。 若 f (－x)= f (x)，则f (x)是偶函数，反之也成立。 若 f (x)是奇函数，则f (x)的函数图像关于原点对称,
反之也成立。 若 f (x)是偶函数，则f (x)的函数图像关于y轴对称，
反之也成立。
6
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
解：①探求过程：
∵ f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数 ∴ f (－x)= － f (x)
即： k (－x ) + b＝－( k x + b)
∴ b＝0 ②验证过程：
如果b＝0，那么f (x)=kx (k≠0) 此时f (x)=kx (k≠0)是奇函数 ∴f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充要条是b＝0 。
∴ （x－1）[a（x+1）+b]=0 ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1。
3
求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：必要性： ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1 ， ∴将根代入方程中ax2+bx+c=0 ∴ a+b+c=0 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0。
7
②要分清它的叙述格式。分清哪个是条件， 哪个是结论。
2Hale Waihona Puke 求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0有一 个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：充分性：
∵ a+b+c=0∴ c=－a－b
∴ax2+bx+c=0
∴ ax2+bx－a－b=0 ∴ ax2 －a+bx－b=0 ∴ a（x2－1）+b（x－1）=0 ∴ a（x－1）（x+1）+b（x－1） =0
充要条件的证明
1
pq,称p是q的充分条件。
换种叙述格式：q的充分条件是p。
例1：求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个 根为1的充要条件是a+b+c=0。
①由“条件=>结论”是证明命题的充分性， 由“结论=>条件”是证明命题的必要性。所 以证明要分两个环节，一是证明充分性，二 是证明必要性。