第三章离散小波变换3.1尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数 '一些离散点上取值。
1.尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幕级数进行离散化，即取，一般取 ）。
如果采用对数坐标，则尺度'的离]234 5€ J ■ ■ ■k- ] ■■v■Prit ■1J■i r图3.1尺度与位移离散方法（1）通常对「进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔「满足’’… 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率 通带的2倍。
3.：' = ？当 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图 2.2），可见采样 频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。
因此，如果尺度：■时—的TrE T™ T （ f l间隔为•，则在尺度为-时，间隔可取 。
此时 可表示为为简化起见，往往把’轴用’归一化，这样上式就变为叫厂畸（皿为整数，叫士 散取值如图3.1所示。
2. 位移的离散化：当1时，'om, w e Z%山"2 W"（3.1）4.任意函数的离散小波变换为H 心（3.2）DWT与CWT不同，在尺度一位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。
将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换’一' *"是否完全表征函数的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数。
（2）是否任意函数都可以表示为以为基本单元川2工的加权和？如果可以，系数’ 如何求？上述两个问题可以归结为一个。
假设条件（1）满足，可合理的选择，并对进行适当的离散（即适当的选择•’），那么一定存在与小波序列对应的序列，使得问题（1）的重建简单地表示为A0 = £也2“（3.3）称为的对偶，它可以由一个基本小波■•通过位移和伸缩取得：由上式，若存在'''，则有故问题（2）也成立，其中’由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1）,该问题的数学语 言描述如下：若小波系数'表征 •的全部信息，则应有当 时，v>=<£山“ >；rjj./re Z或当.时,当和很接近时， 和’’也必然很接近。
用范数的概II 「f\\刖仙钏八亡3">|念来描述，即当为一个很小的数时，也必然为一个很小的数，用数学公式来描述：啊咅矩R*也即£|< 5唤寸“|厅（ 3.4a ）■LIT也即若要小波系数稳定的重建，则必须有:血膳£和U 仲心很接近时，函数£和石也 很接近，即川舛百乞卜5" '（3.4b ）把（3.4a ）和（3.4b ）合到一起。
我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变 换对所有.必须满足下述条件：满足式（3.4c ）的离散函数序列"：在数学上称为框架3.2小波框架与离散小波变换的逆变换3.2.1小波框架（1）小波框架的定义当由基本小波• J 经伸缩和位移引出的函数族具有下述性质时:if x （n}便称构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为（2）小波框架的性质1）满足小波框架条件的，其基本小波!必定满足容许性条件。
当序列■ 1州/『匹k g 川坤牟UtuFI(3.4c )(3.5)(3.7)但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔兀及尺度基数巧下都满足小波框架的条件。
2）小波函数的对偶函数；：|也构成一个框架，其框架的上、下界是框架上、下界的倒数：(3.8)3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。
4）离散小波变换仍然具有冗余度, 3.2.2离散小波变换的逆变换与重建核问题1.离散小波变换的逆变换如离散小波序列. ，构成一个框架，其上、下界分别为和•，则当■'时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为A0 =片空* W川”矿川⑴尸匚工"CM怜上（f）」仁」（3.9）当 '，而：，比较接近时，作为一阶逼近，可取〜2 冲皿（3.10）则重建公式近似为g ■工c j^（i）>r 眄<扃幻*血（0J""以（3.11）逼近误差的范数为心卜制"卜黑卜由上式可见，’■与愈接近，逼近误差就愈小为了保证能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在：轴上的采样间隔提出更高要求：’不一定等于2, 也不一定等于1以便于 使 和 接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔愈小。
离散栅格愈接近于覆盖整个说一匸半平面，&山就愈接近于1.关于•：与. ，以及| -间的关系的部分结论如下：如’ 是一个框架，则框架的上界 、下界门满足下面的不斗」一厂也尤血\「」” " (3.13)举例：将Marr 小波离散化为小波框架。
Marr 小波是常用的一种连续小波形式。
若将 Marr 小波的尺度及位移分别离散 化为= % 险（7「— J^r ）则可证明， 「构成了一个-'1空间的小波框架，其框架的上界、下界止同、之间的关系如表3.1表示。
表3.1 Marr 小波框架上、下界同 和，之间的关系0.25 13.091 14.183 1.083(3.12)特别对紧框架有:0.50 6.546 7.092 1.083 22 0.75 4.364 4.728 1.083 2 1.00 3.223 3.596 1.161 2 1.25 2.001 3.454 1.726 2 1.50 0.325 4.221 12.984 4i0.25 27.273 27.278 1.00020.50 13.673 13.639 1.0002 4i 1.00 6.768 6.870 1.015 4i 1.50 2.609 6.483 2.485 7 L0.50 20.457 20.457 1.0000*1.00 10.178 10.279 1.010*1.50 4.629 9.009 1.947k0.50 27.276 27.276 1.0000 2亍1.00 13.586 13.690 1.007 11由表3.1可知：1 ）当斗■ 2时，取也T 弋0,15;州广后时，取* - 1;州| - 乂时，取’ 或时，取均可使「•，可近似为紧框架。
此时采用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。
2）'一定时，-I 的值随增大而增大。
3）给定一个’值，只要足够小，总可以得到一个近似紧的小波框架。
4），: 时，| ,不是紧框架。
2.重建核公式（1）正交性：只有当沁时，框架 •’变为正交基，此时经框架变换 后的信息无任何冗余。
但在其他情况下，框架并不正交，具有一定的相关性。
因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。
（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性： 将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下:（3.14）(3.15b )1.50 6.594 11.590 1.758Aj-#其中WT f {j.k}=「r(r)(3.15a )则将式（3.14）代入式（3.15b ）得« j I=+工工［呵仃*%』）呦二 £ 兀 2 I 枕（几心;M ）H<“ J； Ail A八（3.16）其中分析说明:（1与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点 ’处小波变换之值与栅格上其他 各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程，称 为重建核，由小波框架本身决定。
（2并不是相平面上的任意离散函数’’都可看作是某一函数的离散小波变换, 只有它们之间满足（3.16）时才可以被看作为某一函数的离散小波变换序列。
（3无论将Marr 小波如何离散，都不能使’丨，也即它不可能构成厂''空间 的正交基。
（Morlet 小波和DOG 也是如此）3.3二进小波变换对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的' ， ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为 二进小波，表示为二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进 行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，故二进小波具有时移共变(3.17)性，在奇异性检测、图像处理方面十分有用。
在讨论二进小波变换及逆变换公式时，我们仍借用离散小波框架理论对其进行分析。
3.3.1二进小波变换及其逆变换设小波函数为，其傅里叶变换为'•，若存在二常数0 u八呂甘u丈，使得池耳工＜B“（3.19）此时式（3.18）定义的二进小波才是有意义的二进小波，即其逆变换存在。
称式（3.19）为二进小波的稳定性条件；若，则称最稳定条件。
若定义函数的二进小波变换系数为“才I 2 丿（3.20）由卷积定理，设，的傅里叶变换为「’：，则___ tWT^（r）- Fg）①芮宀屮卩怙丨因此，稳定性条件（3.19）等价于对任意…都有4df辽1%河诃彳心（3.21）式（3.21）说明：1）二进小波构成了' 的一个框架。
2）二进小波的小波变换公式（式（3.20））及其逆变换公式存在。
二进小波变换的重建公式为(3.22)其中， 为’’的对偶框架，其上、下界分别为■''■同离散小波框架相似，当时,J ⑴二丄巴」（0亠片■（ 3.23）当 •时，的一阶近似为2小 H（ 3.24）（2）二进小波变换时冗余的由框架理论可知，当不满足 几-「7是，框架是冗余的，也即二进变换系数之间 具有一定的相关性，它们之间的关系满足重建核方程。
紧框架情况下的重建核方程 如下：紧框架（）时，由（3.22）和（3.23）可知，重建公式为当 接近于1时，其重构误差减小。
当 更精确的解。
采用高阶近似或递推的方法就可求得3.3.2二进小波变换（1）与离散小波相同，二进小波也一定是一个允许小波，且有特别是，当时,.41112 百［亦 v M2 山1w(3.25)A In 1严心宀⑷血（3.26）此即为二进小波变换紧框架下的重建核方程。
说明：由重建核方程可知，并不是任意函数序列.'都可以作为某一函 数的二进小波变换，而只有当它们满足重建核方程时，才可以看作是某一函数的 二进小波变换。
（3）二进小波变换具有平移不变性（时域平移不变性），即若设•的二进小波变换为f ， 的二进小波变换为，则有由于KT k (r)=(0=2 吓 fg•* -f J it当尺度为、，平移为’时，小波变换系数为di¥丄［孚叫（叫川皿审f r ，-1D j丁刊i/f石咗叫肆di tk其中—瓦5讥;和 三iV昇(3.27)di证明略（习题）表3.1 Marr小波框架上、下界同和' 之间的关系% A r A H/A 20.25 13.091 14.183 1.083 20.50 6.546 7.092 1.083 20.75 4.364 4.728 1.083 2 1.00 3.223 3.596 1.161 2 1.25 2.001 3.454 1.726 2 1.50 0.325 4.221 12.9840.25 27.273 27.278 1.0002 410.50 13.673 13.639 1.0002 Ji 1.00 6.768 6.870 1.015 4i 1.50 2.609 6.483 2.485 2、0.50 20.457 20.457 1.00002' 1.00 10.178 10.279 1.010 * 1.50 4.629 9.009 1.9470.50 27.276 27.276 1.0000 3* 1.00 13.586 13.690 1.007 11.50 6.594 11.590 1.758。