它亦可以用积分定义：
对于所有实部>1的复数s。

这和上面ζ（2）的表达式一起可以用来证明两
个随机整数互质的概率是6/π2。

\frac{}{}== 函数值==
黎曼函数在s > 1的情况
ζ函数满足如下函数方程：
对于所有C\{0,1}中的s成立。

这里，Γ表示Γ函数。

这个公式原来用
来构造解析连续性。

在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。

上
述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是
可能的零点，但s为正偶数时，为不为零的规
则函数（Regular function），只有s为负偶数时，ζ函数才有零点，
称为平凡零点。

当s为正整数
其中B2k是伯努利数。

从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) =
π4/90, ζ(6) = π6/945等等。

（序列A046988/A002432列在OEIS）。

这些给出了著名的π的无穷级数。

奇整数的情况没有这么简单。

拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。

为正偶数时的函数值
公式已经由欧拉计算出。

但当为正奇数时，尚未找到封闭式。

这是调和级数。

（OEIS中的数列A078434）
自旋波物理。

（OEIS中的数列
A013661）
是多少？
（OEIS中的数列A002117）
称为阿培里常数。

（OEIS中的数列
A0013662）
负整数[编辑]
同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有
理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ
函数在负偶整数点的值为零。

复数值[编辑]
，x＞1。

幅角[编辑]
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函数值表[编辑]
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