经典例题类型一.有关概念的识别1.下面几个数:0.23,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个数有()A、1B、2C、3D、4解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数故选C举一反三:【变式1】下列说法中正确的是()A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,∵=9,9的平方根是±3,∴A正确.∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确.【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()A、1B、1.4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C.【变式3】【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10因此3π-9>0,3π-10<0∴类型二.计算类型题2.设,则下列结论正确的是()A. B.C. D.解析:(估算)因为,所以选B举一反三:【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________. 3)___________,___________,___________.【答案】1);.2)-3. 3),,【变式2】求下列各式中的(1)(2)(3)【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4类型三.数形结合3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______解析:在数轴上找到A、B两点,举一反三:【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C 表示的数是().A.-1 B.1-C.2-D.-2【答案】选C[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示:化简【答案】:类型四.实数绝对值的应用4.化简下列各式:(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)(5) |x2+6x+10|分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解:(1) ∵=1.414…<1.4∴|-1.4|=1.4-(2) ∵π=3.14159…<3.142∴|π-3.142|=3.142-π(3) ∵<, ∴|-|=-(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3| =说明:这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识,并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0∴|x2+6x+10|= x2+6x+10举一反三:【变式1】化简:【答案】=+-=类型五.实数非负性的应用5.已知:=0,求实数a, b的值。
分析:已知等式左边分母不能为0,只能有>0,则要求a+7>0,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组从而求出a, b的值。
解:由题意得由(2)得a2=49 ∴a=±7由(3)得a>-7,∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21∴a=7, b=21为所求。
举一反三:【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
解:∵(x-6)2++|y+2z|=0且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【变式2】已知那么a+b-c的值为___________【答案】初中阶段的三个非负数:,a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2类型六.实数应用题6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm。
解:设新正方形边长为xcm,根据题意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15∵边长为正,∴x=-15不合题意舍去,∴只取x=15(cm)答:新的正方形边长应取15cm。
举一反三:【变式1】拼一拼,画一画:请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
(4个长方形拼图时不重叠)(1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么?(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时,大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2,求中间小正方形的边长.解析:(1)如图,中间小正方形的边长是:,所以面积为=大正方形的面积=,一个长方形的面积=。
所以,答:中间的小正方形的面积,发现的规律是:(或)(2) 大正方形的边长:,小正方形的边长:,即,又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2所以有,化简得:将代入,得:cm答:中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七.易错题7.判断下列说法是否正确(1)的算术平方根是-3;(2)的平方根是±15.(3)当x=0或2时,(4)是分数解析:(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故(2)表示225的算术平方根,即=15.实际上,本题是求15的平方根,故的平方根是.(3)注意到,当x=0时,=,显然此式无意义,发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x=0.(4)错在对实数的概念理解不清. 形如分数,但不是分数,它是无理数.类型八.引申提高8.(1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.(2)把下列无限循环小数化成分数:①②③(1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.解:由得的整数部分a=5, 的小数部分,∴(2)解:(1) 设x=①则②②-①得9x=6∴.(2) 设①则②②-①,得99x=23∴.(3) 设①则②②-①,得999x=107,∴.学习成果测评:A组(基础)一、细心选一选1.下列各式中正确的是()A. B. C. D.2. 的平方根是( )A.4 B. C. 2 D.3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是无理数。
其中正确的说法有()A.3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个4.和数轴上的点一一对应的是()A.整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数5.对于来说()A.有平方根B.只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定6.在(两个“1”之间依次多1个“0”)中,无理数的个数有()A.3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7.面积为11的正方形边长为x,则x的范围是()A. B. C. D.8.下列各组数中,互为相反数的是()A.-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与9.-8的立方根与4的平方根之和是()A.0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或410.已知一个自然数的算术平方根是a ,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是()A. B. C. D.二、耐心填一填11.的相反数是________,绝对值等于的数是________,∣∣=_______。
12.的算术平方根是_______,=______。
13.____的平方根等于它本身,____的立方根等于它本身,____的算术平方根等于它本身。
14.已知∣x∣的算术平方根是8,那么x的立方根是_____。
15.填入两个和为6的无理数,使等式成立:___+___=6。
16.大于,小于的整数有______个。
17.若∣2a-5∣与互为相反数,则a=______,b=_____。
18.若∣a∣=6,=3,且ab0,则a-b=______。
19.数轴上点A,点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=_____,x=_____。
三、认真解一解21.计算⑴⑵⑶⑷∣∣+∣∣⑸×+×⑹4×[ 9 + 2×()] (结果保留3个有效数字)22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列,用“”号连接:。