经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：
，…，
，3π，，
，其中，无理数的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，…，3π，
是无理数
故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、
=±1 D、
是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
∵1的立方根是1，=1，
是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）
A、1
B、
C、
D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为
，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为
，故选C．
【变式3】
【答案】∵π= …，∴9＜3π＜10
因此3π-9＞0，3π-10＜0
∴
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
解析：（估算）因为，所以选B
举一反三：
【变式1】1）的算术平方根是__________；平方根是）-27立方根是__________. 3）
___________，
___________，___________.
【答案】1）；
.2）-3. 3），
，
【变式2】求下列各式中的
（1）（2）
（3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为
，点B在数轴上表示的数为
，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
A．－ 1 B．1－
C．2－
D．－2
【答案】选C
[变式2]已知实数、
、在数轴上的位置如图所示：
化简
【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
(1) ||
(2) |π|
(3) |-|
(4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=…＜
∴||=
(2) ∵π=…＜
∴|π|=π
(3) ∵＜
, ∴|-|=
-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对
这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
举一反三：
【变式1】化简：
【答案】
=+
-=类型五．实数非负性的应用
5．已知：
=0，求实数a, b的值。
分析：已知等式左边分母不能为0，只能有
＞0，则要求a+7＞0，分子
+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。
解：由题意得
由(2)得a2=49 ∴a=±7
由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三：
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数：，
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽
为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
解：设新正方形边长为xcm，
根据题意得x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
∴只取x=15(cm)
答：新的正方形边长应取15cm。
举一反三：
【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
（4个长方形拼图时不重叠）
（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积
多24cm2，求中间小正方形的边长.
解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
大正方形的面积=，
一个长方形的面积=。
所以，
答：中间的小正方形的面积，
发现的规律是：（或
）
(2) 大正方形的边长：
，小正方形的边长：
，即
，
又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2
所以有，
化简得：
将代入，得：
cm 答：中间小正方形的边长cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；（2）
的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，（4）
是分数
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即
=15.实际上，本题是求15的平方根，
故的平方根是
.
（3）注意到，当x=0时，
=，显然此
式无意义，
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，
x=0.
（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．（1）已知
的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
（2）把下列无限循环小数化成分数：①②
③
（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
解：由得
的整数部分a=5,
的小数部分
，
∴
（2）解：(1) 设x=①
则②
②-①得
9x=6
∴.
(2) 设①
则②
②-①，得
99x=23
∴.
(3) 设①
则②
②-①，得
999x=107，
∴.学习成果测评：。