六年级 第十一章 不定方程基本知识 姓名
1， 定义：含有2个未知数，求整数解的方程叫不定方程。
2， 特征：1,形如 ax+by=m
2,未知数个数多，方程个数少一些 如方程组：x+y+z=10 z+x-y=3
3,解是不确定的，但整数解可以确定。
3，基本方法：常规方法：观察法、实验法、枚举法；
4，一般步骤：1，列方程；2，消元；3，写出表达式；4；确定范围；5，确定特征；6确定答案；
5，写出表达式的技巧：1，用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数。
2，一般把系数小的写到
方程左边，系数大的写到方程右边，然后方程两边同除以小系数，把方程右边的整数与分数拆开，得
到一个含未知数的分数，然后用列举法根据这个分数来确定整数解。
6，消元技巧：1，消掉范围大的未知数,2，仔细观察方程组，运用+、-、×、÷消元。
7，一定要注意解的范围，一般有2种：1，表达式的范围 2，题本身的范围。
例题：
1， 求方程6x+8y=46的自然数解。
解：6x+8y=46 当分数式2y-46
为整数时，x 、y 才会为整数，从分数式为0开始，一一列举，直到 6x=46-8y 7减不够为止，所以，将三项并列，先确定分数式的值，再确定y 的值，最后确定 X=46/6-8y/6 x 的值。
X=7+4/6-y-2y/6 分数式: 0, 1; 2(减不够，无x 值)
X=7-y-2y-46
y : 2; 5; 所以，此题的自然数解有2组，1，y=2 x=5 X : 5; 1; 2, y=5 x=1
最后检验:将2组解分别代入方程，算出结果，两边相等。
2， 把99个学生分成超过10组的小组，这些小组分成两类，A 类小组每组12人，B 类小组每组5人。
问A 、
B 两类小组各有多少组？
解：设A 类小组有x 个，B 类小组有y 个，依题意得：12x+5y=99 且x+y>10
5y=99-12x 分数式：0, 1, 2, 3, 4；
Y=19+4/5-2x-2x/5 x ：2； 7；12；
Y=19-2x-2x-45
y : 15; 3; 无解 因为3+7=10 不合题意，舍去。
检验：将x=2, y=15代入方程，得：12×2+5×15=99，等号两边相等，正确。
答：A 类小组有2个，B 类小组有15个。
3， 六年级同学玩投球游戏，把红、黄两种颜色的球投到5米外的小铁筐里。
投进一个红球得7分，投进一个
黄球得5分。
若小芳共得58分，则她分别投进了多少个红球和黄球？
解：设她投进了x 个红球，y 个黄球，依题意得：
7x+5y=58 分数式：0， 1， 2， 3， 4，
5y=58-7x x : 4; 9;
Y=11+3/5-x-2x/5 y : 6; 无解
Y=11-x-2x-35
检验：将x=4, y=6代入方程，7×4+5×6=58 两边相等，正确。
答：她分别投进了4个红球，6个黄球。
4， 下图中两个矩形的面积之和为43平方厘米，两个矩形的边长都是整数厘米，求两个矩形的面积差。
解：设长为7的矩形宽为x 厘米，长为5的矩形宽为y 厘米，依题意得：
7x+5y=43
5y=43-7x 分数式：0； 1； 2； 3； 检验：将x=4, y=3代入方程 7×4+5×3=43 Y=8+3/5-x-2x/5 x : 4; 9 两边相等，正确。
Y=8-x-2x-35
y: 3; 无解 大矩形面积;7×4=28平方厘米 小矩形面积：5×3=15平方厘米
28-15=13平方厘米
答：两个矩形的面积差是13平方厘米
5， 在一次数学考试中，已知甲做对了5道解答题、7道选择题、9到填空题，共得52分；乙做对了7道解答
题、9道选择题、11道填空题，共得68分，问三种题型的每道小题的分值各是多少？
解:设解答题为x 分，选择题为y 分，填空题为z 分，依题意得：
5x+7y+9z=52 （1） 此题要用消元法，先观察两式，决定要消去的未知数，尽量消去两式中系数有 7x+9y+11z=68 (2) 倍数关系或系数较小的未知数，这里我们消去x ，先将x 的系数变成最小公倍
（1）式×7得： 数，再通过两式的加减消去x ，注意：变形成最小公倍数时，方程两边要同乘。
35x+49y+63z=364 （3） 用（3）式-（4）式得：（注意：要大的减小的，左边减左边，右边减右边）
（2）式×5 得： 35x+49y+63z-35x-45y-55z=364-340
35x+45y+55z=340 (4) 4y+8z=24
4y=24-8z
Y=6-2z 此方程没有分数式，z 不能为0，从1往上列举，确定y 的值，再根据原方程（1）或者（2）确定x 的值。
(即将z,y 的值代入（1）式，求出x 的值)
Z: 1; 2； 3
Y: 4； 2； 0；（y 不能为0，舍去）
X: 3; 4;
答：三种题型的每道小题的分值分别为3分、4分、1分或 4分、2分、2分。
6， 将一个两位数的个位与十位数字调换位置，得到的新数比原数的两倍少1，求这个两位数。
解：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，依题意得：
10y+x+1=2×（10x+y ） 分数式：0；1；2；3；4;
10y+x+1=20x+2y x : 3; 11;
8y+1=19x y : 7; 无解
8y=19x-1 检验：将x=3, y=7代入方程 10×7+3+1=2×（10×3+7）两边相等，正确
Y=2x+3x-18
答：这个两位数是37。
7， 甲地有89吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车
运一趟耗油9升，运完这批货物至少耗油多少升？
解：设大卡车要运x 次，小卡车要运y 次，刚好运完，依题意得：
7x+4y=89 分数式：0；1；2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；
4y=89-7x x: 3; 7; 11; 15;
Y=22-x-3x-14
y: 17; 10; 3; 无解 将三组解分别算出耗油量：1,3×14+17×9=195升 2,7×14+10×9=188升 3,11×14+3×9=181升 答：运完这批货物至少耗油181升。