第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末检测一、选择题1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )． A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 2＝1，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )．A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 3．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )． A ．可能没有B ．至少有一个C ．只有一个D ．有无数个4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）．A ．菱形B ．梯形C ．正方形D ．空间四边形5．已知 m ，n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面 β，α∩β＝l ，则( )． A ．l 与m ，n 都相交 B ．l 与m ，n 中至少一条相交C ．l 与m ，n 都不相交D ．l 只与m ，n 中一条相交6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．如果平面α外有两点A ，B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是( )．A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α8．设m ，n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )． A ．α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n B ．α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βD. α⊥β，αβ＝m ，n ⊥m ⇒n ⊥β9．平面α∥平面β，AB ，CD 是夹在α和β之间的两条线段，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与α的关系是( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定10．平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为4π和6π，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B′，则AB ∶A ′B ′ 等于( )．A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB ，CD 所成角的大小为 ．12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是 ．13．如图，AC 是平面α的斜线，且AO ＝a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ′⊥α于A ′，∠A ′OC ＝45º，则点A 到直线OC 的距离是 ．(第13题)DCAB(第11题)(第12题)AB CA 1B 1C 1EF(第10题)14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为 ．15．已知a ，b 为直线，为α平面，a ∥α，b ∥α，对于a ，b 的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交． 其中可能成立的有 个．三、解答题16．正方体AC 1的棱长为a ． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)设P 为D 1D 中点，求点P 到平面ACC 1A 1的距离．17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：(1)P A ∥平面BDE ； (2)BD ⊥平面P AC ．POEC DBA(第17题)18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．19．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； (2)求证：BD 1⊥平面ACB 1； (3)求三棱锥B -ACB 1体积．20. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AC AE ＝ADAF＝λ(0＜λ＜1)． (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？D 1C 1B 1A 1CD BA(第19题)(第18题)(第20题)参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ． 又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°． 7．C解析：当A ，B 两点在α同侧时，直线AB 和平面α平行；当A ，B 两点在α异侧时，直线AB 和平面α相交．8．B解析：对于A ，α⊥β，m ⊥α，n ∥β，m ，n 可以不垂直； 对于C ，m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，α,β可以不垂直； 对于D ，α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，n 、β可以不垂直． 9．A解析：设A ，C ∈α，B ，D ∈β，① 若AB ，CD 共面，∵α∥β，∴ AC ∥BD . ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ EF ∥AC ，且EF ⊄α，AC ⊂α，∴ EF ∥α．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交α于M ，交β于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄α，AM ⊂α，∴ EF ∥α．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos6π，BB ′＝a cos 4πa ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1． 二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5．13．414a ． 解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ，AA ′(第10题)A BCA 1B 1C 1EFG (第12题)点A 到直线OC 距离是AB ． 依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ． ∴ AB ＝16243+a ＝414a ．14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为 2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21． ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥α，b ∥β时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立．三、解答题16． 证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ， ∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ．又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1． (2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线． ∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ， ∴ P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形，A BC A 1B 1C 1P · DD 1O(第16题)POECDBA(第17题)。